Resolva cada sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.
\left(\begin{array}{ccc}\sqrt{2} & 1 & 2 \\\\ 0 & \sqrt{2} & -3 \\\\ 0 & -1 & \sqrt{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -\sqrt{2} \\\\ 1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com três equações e três incógnitas
\begin{cases} \sqrt{2}\,x_{1}+1\cdot x_{2}+2\,x_{3}=1,\\\\ 0\cdot x_{1}+\sqrt{2}\,x_{2}-3\,x_{3}=-\sqrt{2},\\\\ 0\cdot x_{1}-1\cdot x_{2}+\sqrt{2}\,x_{3}=1, \end{cases}
e pede para usar eliminação de Gauss–Jordan, ou seja, montar a matriz aumentada [A\mid b] e aplicar operações de linha até obter a forma reduzida por linhas (RREF).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada inicial:
[A\mid b] =\left[\begin{array}{ccc|c} \sqrt{2} & 1 & 2 & 1\\\\ 0 & \sqrt{2} & -3 & -\sqrt{2}\\\\ 0 & -1 & \sqrt{2} & 1 \end{array}\right].

Passo 3

Primeiro tornamos o pivô da linha 1 igual a 1 dividindo toda a linha 1 por \sqrt{2}:
R_{1}\leftarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\,R_{1} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{2}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 0 & \sqrt{2} & -3 & -\sqrt{2}\\\\ 0 & -1 & \sqrt{2} & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 0 & \sqrt{2} & -3 & -\sqrt{2}\\\\ 0 & -1 & \sqrt{2} & 1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora normalizamos o pivô da linha 2, dividindo por \sqrt{2}:
R_{2}\leftarrow \frac{1}{\sqrt{2}}\,R_{2} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \sqrt{2} & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{\sqrt{2}} & -1\\\\ 0 & -1 & \sqrt{2} & 1 \end{array}\right].

Passo 5

Eliminamos o termo em x_{2} das linhas 1 e 3 usando a linha 2:
  • R_{1}\leftarrow R_{1}-\tfrac1{\sqrt{2}}\,R_{2}
  • R_{3}\leftarrow R_{3}+1\cdot R_{2}
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \sqrt{2} - \bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) & \tfrac{1}{\sqrt{2}} - \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr)\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{\sqrt{2}} & -1\\\\ 0 & 0 & \sqrt{2}-\tfrac{3}{\sqrt{2}} & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \sqrt{2} + \tfrac{3}{2} & \sqrt{2}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{\sqrt{2}} & -1\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{array}\right].

Passo 6

Normalizamos o pivô da linha 3 dividindo por -\tfrac{1}{\sqrt{2}}:
R_{3}\leftarrow \frac{1}{-\tfrac{1}{\sqrt{2}}}\,R_{3} \;=\;-\,\sqrt{2}\,R_{3} \quad\Longrightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \sqrt{2} + \tfrac{3}{2} & \sqrt{2}\\\\ 0 & 1 & -\tfrac{3}{\sqrt{2}} & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].

Passo 7

Eliminamos o termo em x_{3} das linhas 1 e 2 usando a linha 3:
  • R_{1}\leftarrow R_{1} - (\sqrt{2} + \tfrac{3}{2})\,R_{3}
  • R_{2}\leftarrow R_{2} + \tfrac{3}{\sqrt{2}}\,R_{3}
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \sqrt{2}\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right].
Agora a matriz está na forma reduzida por linhas, de onde lemos diretamente as incógnitas.

Resposta

x_{1}=\sqrt{2},\quad x_{2}=-1,\quad x_{3}=0.

Exercícios relacionados