Resolva cada sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}x+y+z=1 \\\\ -x+y+2 z=0 \\\ x+3 y+5 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\\ -\,x + y + 2z = 0,\\\ x + 3y + 5z = 3 \end{cases}
pelo método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada e usar operações elementares para chegar à forma escalonada reduzida, de onde lemos diretamente x, y e z.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ -1 & 1 & 2 & 0\\\\ 1 & 3 & 5 & 3 \end{pmatrix}

Passo 3

Usamos o pivô da primeira coluna (linha 1) para zerar abaixo:
aplicamos L_{2}\leftarrow L_{2}+L_{1} e L_{3}\leftarrow L_{3}-L_{1}, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix}

Passo 4

Normalizamos o pivô de L_{2} dividindo por 2 e zeramos acima e abaixo na coluna 2. Primeiro
L_{2}\leftarrow \tfrac12\,L_{2} = [0\;\,1\;\,\tfrac32\;\,\tfrac12]
depois
L_{1}\leftarrow L_{1}-L_{2},\quad L_{3}\leftarrow L_{3}-2\,L_{2},
resultando em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -\tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 1 & \tfrac32 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 5

Usamos o pivô de L_{3} para zerar a coluna 3 em L_{1} e L_{2}:
L_{1}\leftarrow L_{1} + \tfrac12\,L_{3},\quad L_{2}\leftarrow L_{2} - \tfrac32\,L_{3},
chegando à forma escalonada reduzida
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Resposta

x=1, y=-1, z=1

Exercícios relacionados