Resolva cada sistema abaixo pelo método de eliminação de Gauss-Jordan.
\left\{\begin{array}{c}x+2 y+z+t=1 \\\\ -x-y+z+t=0 \\\ x+y=-1 \\\ x+z+t=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} x + 2y + z + t = 1,\\\\ -\,x - y + z + t = 0,\\\ x + y = -1,\\\ x + z + t = 2 \end{cases}
usando o método de eliminação de Gauss–Jordan, que consiste em montar a matriz aumentada, escolher pivôs e zerar as entradas acima e abaixo de cada pivô até chegar à forma reduzida.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada \bigl[A\,|\,\mathbf b\bigr]:
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 & 1\\\\ -1 & -1 & 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & -1\\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 2 \end{array} \right].

Passo 3

Usamos a_{11}=1 como pivô para zerar a coluna 1 nas outras linhas:
R2 ← R 2+ R1,
R3 ← R3 − R1,
R4 ← R4 − R1.
Isso leva a
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 1 & 1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1\\\\ 0 & -1 & -1 & -1 & -2\\\\ 0 & -2 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right].

Passo 4

Agora escolhemos a_{22}=1 como pivô e zeramos a coluna 2 em R1, R3 e R4:
R1 ← R1 − 2\cdotR2,
R3 ← R 3+ R2,
R4 ← R 4+2\cdotR2.
O resultado é
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & -3 & -1\\\\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 4 & 4 & 3 \end{array} \right].

Passo 5

Usamos a_{33}=1 como pivô e zeramos a coluna 3 em R1, R2 e R4:
R1 ← R 1+3\cdotR3,
R2 ← R2 − 2\cdotR3,
R4 ← R4 − 4\cdotR3.
A matriz vira
\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -4\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7 \end{array} \right].

Passo 6

Na última linha aparece
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z + 0\cdot t = 7,
o que é impossível. Isso indica que o sistema é inconsistente, ou seja, não tem solução.

Resposta

O sistema é inconsistente e não possui solução.

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