*** Resolva o circuito usando análise nodal com o conceito de supernó.
  • Circuito: Nó 1 e Nó 2. Uma fonte de tensão de 5V está entre o Nó 1 e o Nó 2 (positivo no Nó 1). R1=1ks do Nó 1 para o terra. R2=2k \Omega do Nó 2 para o terra. Uma fonte de corrente de 10 mA entra no Nó 1 .
  • Resposta: \mathrm{V} 1=8.33 \mathrm{~V}, \mathrm{~V} 2=3.33 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado dá um circuito com dois nós (Nó 1 e Nó 2) e pede para encontrar as tensões desses nós em relação ao terra. Informações fornecidas:
  • Há uma fonte de tensão de 5\,\text{V} entre o Nó 1 e o Nó 2, com o positivo no Nó 1 (ou seja, \mathrm{V}_1-\mathrm{V}_2=5\,\text{V}).
  • \mathrm{R}_1 = 1\,\text{k}\Omega entre o Nó 1 e o terra.
  • \mathrm{R}_2 = 2\,\text{k}\Omega entre o Nó 2 e o terra.
  • Uma fonte de corrente de 10\,\text{mA} entra no Nó 1 (ou seja, injecta 10\,\text{mA} no nó).
    O que se pede:
  • Calcular \mathrm{V}_1 e \mathrm{V}_2 (tensões dos nós em relação ao terra).

Passo 2

Por causa da fonte de tensão conectando dois nós que não são o terra, formamos um supernó envolvendo o Nó 1 e o Nó 2. Vou explicar o conceito e por que isso é útil:
  • Supernó: quando uma fonte de tensão ideal liga dois nós que não são referência, não podemos escrever diretamente a lei de correntes (KCL) em cada nó separadamente porque a corrente pela fonte de tensão é desconhecida. Em vez disso, tratamos os dois nós e a fonte como um único “supernó” e aplicamos KCL ao contorno do supernó (somando as correntes que saem do supernó por resistores e outras conexões externas).
  • Além do KCL para o supernó, usamos a equação da fonte de tensão como uma equação adicional (restrição) que relaciona \mathrm{V}_1 e \mathrm{V}_2.

Passo 3

Escrevendo KCL para o supernó (somando correntes que saem do supernó para o terra pelas resistências). Usarei unidades SI completas (ampères e ohms) para ficar consistente:
  • Corrente pelo \mathrm{R}_1 (do Nó 1 para o terra) é \dfrac{\mathrm{V}_1}{1000} (A), pela lei de Ohm I=\dfrac{V}{R}.
  • Corrente pelo \mathrm{R}_2 (do Nó 2 para o terra) é \dfrac{\mathrm{V}_2}{2000} (A).
  • A fonte de corrente injeta 10\,\text{mA}=0,01\,\text{A} no Nó 1, ou seja, entra no supernó.
    Aplicando KCL (correntes que saem do supernó para o terra = corrente injetada no supernó):
\frac{\mathrm{V}_1}{1000}+\frac{\mathrm{V}_2}{2000}=0,01.

Passo 4

Escrevendo a equação da fonte de tensão (restrição entre os nós):
\mathrm{V}_1-\mathrm{V}_2=5.
Expliquei acima: a fonte de 5\,\text{V} tem o terminal positivo no Nó 1, portanto \mathrm{V}_1 é 5\,\text{V} mais alto que \mathrm{V}_2.

Passo 5

Agora vamos resolver o sistema de duas equações em \mathrm{V}_1 e \mathrm{V}_2. Primeiro, substituo \mathrm{V}_1 a partir da segunda equação na primeira:
\text{da segunda: }\mathrm{V}_1=\mathrm{V}_2+5.
Substituindo em KCL:
\frac{\mathrm{V}_2+5}{1000}+\frac{\mathrm{V}_2}{2000}=0,01.

Passo 6

Multiplico ambos os lados por 2000 para eliminar denominadores (explicação: multiplicar por um número comum torna os cálculos inteiros):
2000\left(\frac{\mathrm{V}_2+5}{1000}\right)+2000\left(\frac{\mathrm{V}_2}{2000}\right)=2000\cdot 0,01.
Isso simplifica para:
2(\mathrm{V}_2+5)+\mathrm{V}_2=20.

Passo 7

Continuando as contas passo a passo:
2\mathrm{V}_2+10+\mathrm{V}_2=20
3\mathrm{V}_2+10=20
3\mathrm{V}_2=10
\mathrm{V}_2=\frac{10}{3}\,\text{V}=3,333\ldots\,\text{V}.

Passo 8

Agora encontro \mathrm{V}_1 usando \mathrm{V}_1=\mathrm{V}_2+5:
\mathrm{V}_1=\frac{10}{3}+5=\frac{10}{3}+\frac{15}{3}=\frac{25}{3}\,\text{V}=8,333\ldots\,\text{V}.

Passo 9

Verificação rápida (substituir de volta na equação KCL para confirmar):
\frac{\mathrm{V}_1}{1000}+\frac{\mathrm{V}_2}{2000}=\frac{25/3}{1000}+\frac{10/3}{2000} =\frac{25}{3000}+\frac{10}{6000}=\frac{50}{6000}+\frac{10}{6000}=\frac{60}{6000}=0,01\\ \text{A},
ou seja, 10\,\text{mA}. Conferido — está correto.

Resposta

\mathrm{V}_1=8{,}33\\ \text{V}
\mathrm{V}_2=3{,}33\\ \text{V}

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