** Use análise nodal para encontrar as tensões nos nós V 1 e V 2 .
  • Circuito: Fonte de corrente de 5A entrando no Nó 1. R1=2 \Omega entre Nó 1 e Terra. R 2=4 \Omega entre Nó 1 e Nó 2 . R 3=1 \Omega entre Nó 2 e Terra.
  • Resposta: \mathrm{V} 1=8 \mathrm{~V}, \mathrm{~V} 2=2 \mathrm{~V}.

Passo 1

O enunciado pede para usar análise nodal para encontrar as tensões nos dois nós do circuito. Informação fornecida e incógnitas:
  • Fonte de corrente de 5\\ \mathrm{A} entrando no Nó 1 (ou seja, 5\\ \mathrm{A} injectados no nó).
  • R_1 = 2\\ \Omega entre Nó 1 e o terra (referência).
  • R_2 = 4\\ \Omega entre Nó 1 e Nó 2.
  • R_3 = 1\\ \Omega entre Nó 2 e o terra.
  • Tensões incógnitas: V_1 = tensão do Nó 1 em relação ao terra e V_2 = tensão do Nó 2 em relação ao terra.
O que devemos calcular: V_1 e V_2.

Passo 2

Relembrando a ideia principal (com calma, tipo conversa de amigo): análise nodal usa a Lei dos Nós (KCL) em cada nó desconhecido — ou seja, a soma das correntes que saem de um nó deve ser igual à soma das correntes que entram (ou a soma algébrica das correntes é zero). Para cada resistor, usamos a Lei de Ohm para escrever a corrente em função das tensões nos seus terminais.
Lei de Ohm (versão de corrente): para um resistor R entre dois pontos com tensões V_a e V_b, a corrente de a para b é
I_{a\to b}=\frac{V_a-V_b}{R}.
Aqui as incógnitas são V_1 e V_2. Vou escrever correntes saindo dos nós (convenção consistente).

Passo 3

Escrever KCL no Nó 1. Correntes que saem do Nó 1:
  • Pela R_1 para o terra: \dfrac{V_1-0}{R_1}=\dfrac{V_1}{2}.
  • Pela R_2 em direção ao Nó 2: \dfrac{V_1-V_2}{R_2}=\dfrac{V_1-V_2}{4}.
    Além disso, o gerador de corrente fornece 5\\ \mathrm{A} entrando no nó. Usando a forma “soma das correntes que saem = corrente injetada”, temos:
\frac{V_1}{2}+\frac{V_1-V_2}{4}=5.

Passo 4

Escrever KCL no Nó 2. Correntes que saem do Nó 2:
  • Pela R_3 para o terra: \dfrac{V_2-0}{R_3}=\dfrac{V_2}{1}=V_2.
  • Pela R_2 em direção ao Nó 1: \dfrac{V_2-V_1}{R_2}=\dfrac{V_2-V_1}{4}.
    Não há fonte de corrente direta no Nó 2, então a soma das correntes que saem deve ser zero (ou somando as correntes que entram menos as que saem = 0). Escrevemos:
\frac{V_2-V_1}{4}+V_2=0.

Passo 5

Agora temos o sistema de duas equações:
\frac{V_1}{2}+\frac{V_1-V_2}{4}=5,
\frac{V_2-V_1}{4}+V_2=0.
Vou simplificar ambas as equações para eliminar frações (multiplicando por 4, o mínimo comum denominador), para ficar mais fácil de manipular sem calculadora.
Multiplicando a primeira por 4:
4\left(\frac{V_1}{2}\right)+4\left(\frac{V_1-V_2}{4}\right)=4\cdot 5.
Isso dá
2V_1 + (V_1 - V_2)=20.
Somando os termos V_1:
3V_1 - V_2 = 20.
Multiplicando a segunda por 4:
4\left(\frac{V_2-V_1}{4}\right)+4V_2=0,
que vira
(V_2 - V_1) + 4V_2 = 0.
Reagrupando:
- V_1 + 5V_2 = 0.

Passo 6

Temos o sistema linear simples:
\begin{cases} 3V_1 - V_2 = 20,\\[6pt] - V_1 + 5V_2 = 0. \end{cases}
Agora vamos resolver por substituição (é direto). Da segunda equação isolamos V_1:
- V_1 + 5V_2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad V_1 = 5V_2.]

Passo 7

Substituímos V_1 = 5V_2 na primeira equação:
3(5V_2) - V_2 = 20.
Calcule passo a passo:
15V_2 - V_2 = 20,
14V_2 = 20.
Logo
V_2 = \frac{20}{14} = \frac{10}{7}\\ \mathrm{V}.
Se preferir decimal aproximado (só para sentir o valor):
V_2 \approx 1{,}4286\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Agora encontramos V_1 usando V_1=5V_2:
V_1 = 5\cdot \frac{10}{7} = \frac{50}{7}\\ \mathrm{V}.
Aproximando:
V_1 \approx 7{,}1429\\ \mathrm{V}.

Passo 9

Checagem rápida (sempre bom fazer na prova para ter confiança):
  • No Nó 1: correntes saindo são \dfrac{V_1}{2} e \dfrac{V_1-V_2}{4}.
    Substituindo frações exatas:
\frac{V_1}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{50}{7}=\frac{25}{7},
\frac{V_1-V_2}{4}=\frac{1}{4}\left(\frac{50}{7}-\frac{10}{7}\right)=\frac{40}{28}=\frac{10}{7}.
Soma: \dfrac{25}{7}+\dfrac{10}{7}=\dfrac{35}{7}=5\\ \mathrm{A}, que bate com a fonte de 5\\ \mathrm{A} entrando — perfeito.
  • No Nó 2: correntes saindo são \dfrac{V_2-V_1}{4} e V_2.
    Substituindo:
\frac{V_2-V_1}{4}=\frac{1}{4}\left(\frac{10}{7}-\frac{50}{7}\right)=-\frac{10}{7},
V_2=\frac{10}{7}.
Soma: -\dfrac{10}{7}+\dfrac{10}{7}=0, o que é consistente (nenhuma corrente injetada externamente no nó 2). Tudo coerente.

Resposta

V_1=\dfrac{50}{7}\\ \mathrm{V} \approx 7{,}1429\\ \mathrm{V}
V_2=\dfrac{10}{7}\\ \mathrm{V} \approx 1{,}4286\\ \mathrm{V}

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