1. Resolva a congruência 19^{53}(\bmod 29).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o resto da divisão de 19^{53} por 29. O conteúdo principal é exponenciação modular e uso do Teorema de Fermat para reduzir expoentes.

Passo 2

Como 29 é primo e \gcd(19,29)=1, o Teorema de Fermat diz que
19^{28} \equiv 1 \pmod{29}.

Passo 3

Podemos então reduzir o expoente 53 módulo 28. Como
53 = 28 \cdot 1 + 25,
segue que
19^{53} \equiv 19^{25} \pmod{29}.

Passo 4

Vamos calcular passo a passo potências menores de 19 módulo 29:
Temos
19^2 = 361 \equiv 13 \pmod{29}.
Logo,
19^4 = (19^2)^2 \equiv 13^2 = 169 \equiv 24 \pmod{29},
e
19^5 = 19^4 \cdot 19 \equiv 24 \cdot 19 = 456 \equiv 21 \pmod{29}.

Passo 5

Como 19^{25} = (19^5)^5, basta achar 21^5 \bmod 29. Calculamos:
21^2 = 441 \equiv 6 \pmod{29},
21^4 = (21^2)^2 \equiv 6^2 = 36 \equiv 7 \pmod{29},
21^5 = 21^4 \cdot 21 \equiv 7 \cdot 21 = 147 \equiv 2 \pmod{29}.

Passo 6

Portanto,
19^{53} \equiv 19^{25} \equiv 21^5 \equiv 2 \pmod{29}.

Resposta

2

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