1. Calcule a inversa multiplicativa módulo 28 de 15 usando o algoritmo de Euclides estendido.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o inverso multiplicativo de 15 módulo 28 usando o algoritmo de Euclides estendido. Isso significa achar um inteiro x tal que
15x \equiv 1 \pmod{28}.
Sabemos que esse inverso existe se, e somente se, \gcd(15,28)=1. Para isso, vamos aplicar o algoritmo de Euclides e depois realizar a retro­substituição (Euclides estendido).

Passo 2

Aplicamos o algoritmo de Euclides para calcular \gcd(15,28):
28 = 1 \cdot 15 + 13,
15 = 1 \cdot 13 + 2,
13 = 6 \cdot 2 + 1,
2 = 2 \cdot 1 + 0.

Passo 3

Como o último resto não nulo é 1, concluímos que
\gcd(15,28)=1,
logo o inverso de 15 módulo 28 existe.

Passo 4

Agora fazemos a retro­substituição para expressar 1 como combinação linear de 15 e 28. Da terceira linha do algoritmo temos
1 = 13 - 6\cdot 2.
Da segunda linha tiramos 2 = 15 - 1\cdot 13. Substituindo em cima:
1 = 13 - 6\bigl(15 - 13\bigr) = 13 - 6\cdot 15 + 6\cdot 13 = 7\cdot 13 - 6\cdot 15.
Da primeira linha temos 13 = 28 - 1\cdot 15. Substituindo novamente:
1 = 7\bigl(28 - 15\bigr) - 6\cdot 15 = 7\cdot 28 - 7\cdot 15 - 6\cdot 15 = 7\cdot 28 - 13\cdot 15.
Portanto
1 = (-13)\cdot 15 + 7\cdot 28.

Passo 5

Da expressão acima vemos que um coeficiente de 15 que gera 1 é x = -13. Logo, o inverso de 15 módulo 28 é
x \equiv -13 \equiv 28 - 13 = 15 \pmod{28}.

Resposta

O inverso multiplicativo de 15 módulo 28 é 15.

Exercícios relacionados