Resolva as desigualdades.
c) \left|x^{2}-2 x\right| \leq 8
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar todos os números reais x que satisfazem a desigualdade
\left|x^{2}-2x\right| \leq 8.
Informações dadas relevantes:
A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}-2x.
O lado direito é o número 8, que é não negativo (isso permite usar a propriedade padrão de desigualdade com valor absoluto).
Passo 2
Lembrete/método: para qualquer expressão real A e qualquer B\ge 0 vale a equivalência
|A| \le B \quad\Longleftrightarrow\quad -B \le A \le B.
Isso significa que posso trocar a desigualdade com valor absoluto por duas desigualdades simultâneas, uma inferior e outra superior. Exemplo rápido: |t| \le 3 é equivalente a -3 \le t \le 3.
Passo 3
Aplicando essa propriedade com A = x^{2}-2x e B=8, obtemos o sistema
-8 \le x^{2}-2x \le 8.
Esse duplo encadeamento equivale a exigir simultaneamente as duas desigualdades
Para estudar essa quadrática, achei as raízes da equação associada x^{2}-2x-8=0. Fatorando:
x^{2}-2x-8=(x-4)(x+2),
logo as raízes são x=-2 e x=4. Como o coeficiente de x^{2} é positivo, a parábola abre para cima, então a expressão x^{2}-2x-8 é menor ou igual a zero entre as raízes. Portanto esta desigualdade tem solução
-2 \le x \le 4.
Passo 5
Agora a outra desigualdade:
x^{2}-2x \ge -8.
Levo tudo para o lado esquerdo:
x^{2}-2x+8 \ge 0.
Faço uma completamento de quadrado para visualizar melhor:
x^{2}-2x+8 = (x-1)^{2}+7.
Aqui (x-1)^{2} é sempre \ge 0, então (x-1)^{2}+7 \ge 7>0 para todo x. Isso mostra que a desigualdade é verdadeira para todos os reais x. Em outras palavras, essa condição não impõe nenhuma restrição adicional além de x\in\mathbb{R}.
Passo 6
Juntando as duas condições: precisamos dos x que satisfazem simultaneamente a condição da Passo 4 e a da Passo 5. Como a segunda é verdadeira para todo x, a solução do sistema é simplesmente a interseção de \mathbb{R} com o intervalo obtido na Passo 4. Portanto a solução final é
-2 \le x \le 4.
Passo 7
Verificações rápidas (sanity check):
Para x=0: |0-0|=0\le 8 — ok.
Para x=4: |16-8|=8\le 8 — ok (extremo).
Para x=5: |25-10|=15>8 — não pertence, coerente com a solução.