Resolva as desigualdades.
d) \left|2 x^{2}+3 x\right| \geq 9
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
\left|2x^{2}+3x\right| \geq 9.
Dados importantes:
A expressão dentro do valor absoluto é 2x^{2}+3x.
O lado direito é o número 9 (positivo).
Quer-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Regra útil sobre valor absoluto (explicação didática):
Para qualquer expressão A e número real B\ge 0 vale
|A|\ge B \quad\Longleftrightarrow\quad A\ge B \quad\text{ou}\quad A\le -B.
Isto acontece porque o valor absoluto mede a distância de A até 0; exigir que essa distância seja pelo menos B significa que A esteja a direita de B ou a esquerda de -B.
Aplicando aqui com A=2x^{2}+3x e B=9, obtemos as duas desigualdades equivalentes:
2x^{2}+3x \ge 9
ou
2x^{2}+3x \le -9.
Passo 3
Resolver a primeira desigualdade
2x^{2}+3x \ge 9.
Coloco tudo em um lado:
2x^{2}+3x-9 \ge 0.
Isto é uma inequação quadrática. Primeiro encontro as raízes da equação associada
2x^{2}+3x-9=0.
Uso a fórmula quadrática: para ax^{2}+bx+c=0 as raízes são