Resolva as desigualdades.
d) |x-3| \leq 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto:
|x-3| \leq 4.
Informações dadas:
  • A incógnita é x, número real.
  • A desigualdade é do tipo “valor absoluto menor ou igual a uma constante positiva”.

Passo 2

Relembrando a definição e a ideia por trás de |u| \le a:
  • Para qualquer expressão u e qualquer número a \ge 0, a desigualdade |u| \le a significa que a distância de u até 0 é no máximo a.
  • Isso é equivalente à desigualdade composta
-a \le u \le a.
Explicação curta do porquê: |u| \le a diz que u está a no máximo a unidades de 0, ou seja, u fica entre -a e a.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso caso com u = x-3 e a=4, obtemos a desigualdade composta
-4 \le x-3 \le 4.

Passo 4

Agora isolar x somando 3 em todas as partes da desigualdade composta:
-4 + 3 \le x-3 + 3 \le 4 + 3
que simplifica para
-1 \le x \le 7.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • A solução é o intervalo fechado de -1 até 7, pois o sinal \le inclui os pontos extremos.
  • Checagens rápidas: para x=-1 tem-se |-1-3|=4\le4 (ok); para x=7 tem-se |7-3|=4\le4 (ok); para x=0 tem-se |0-3|=3\le4 (ok); para x=8 tem-se |8-3|=5\nle4 (não vale).

Resposta

-1 \le x \le 7

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