Resolva as desigualdades.
e) \left|x-\frac{1}{2}\right|<2
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade \left|x-\frac{1}{2}\right|<2.
Informações dadas:
A expressão é um valor absoluto em x: \left|x-\frac{1}{2}\right|.
A desigualdade é estrita: <2.
O objetivo é encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.
Passo 2
Lembrete importante (definição usada): para qualquer número real u e qualquer a>0,
|u|<a \quad\Longleftrightarrow\quad -a<u<a.
Explicação curta do porquê: |u| mede a distância de u até 0. Dizer que essa distância é menor que a significa que u está a menos de a unidades de 0, isto é, entre -a e a.
Passo 3
Aplicando a definição com u = x-\frac{1}{2} e a=2, obtemos a desigualdade dupla
-2 < x-\frac{1}{2} < 2.
Passo 4
Agora resolvemos a desigualdade composta isolando x. Para isso somamos \frac{1}{2} em todas as três partes da desigualdade:
Interpretando o resultado: a solução é o intervalo aberto \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right). Os extremos não entram porque a desigualdade é estrita (<, não \le).
Passo 6
Verificações rápidas para ganhar confiança:
Escolhendo x=0 (que está no intervalo), \left|0-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}<2 (verdadeiro).
Escolhendo x=3 (fora do intervalo), \left|3-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{5}{2}>2 (falso).
Nos extremos: para x=\dfrac{5}{2}, \left|\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}\right|=2, não satisfaz porque queremos estritamente menor.
Passo 7
Dica geral para a prova (fórmula pronta): sempre que vir \left|x-a\right|<b com b>0, já pode escrever direto
\left|x-a\right|<b \Longleftrightarrow a-b < x < a+b.
No problema dado, a=\dfrac{1}{2} e b=2, o que dá exatamente o intervalo acima.