Resolva as desigualdades.
f) \left|4 x^{2}+x\right| \leq x+4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left|4x^{2}+x\right| \leq x+4,
isto é, encontrar todos os valores reais de x que satisfazem essa relação. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • O termo à esquerda é um valor absoluto \left|4x^{2}+x\right|.
  • O termo à direita é a expressão linear x+4.
  • É importante observar que \left|\,\cdot\,\right| produz sempre um número não negativo.

Passo 2

Primeira observação teórica e prática: para uma desigualdade do tipo \left|A\right|\leq B é necessário que B\geq 0. Se B<0 não há solução, pois \left|A\right|\geq 0 sempre. Aplicando isso ao nosso caso, devemos verificar quando
x+4\geq 0.
Isso ocorre para
x\geq -4.
Portanto, qualquer solução precisa satisfazer x\geq -4. Para x<-4 não existe solução.

Passo 3

Agora, quando x+4\geq 0 podemos remover o valor absoluto usando a equivalência padrão:
\left|A\right|\leq B\quad\text{(com \(B\geq 0\))}\quad\Longleftrightarrow\quad -B\leq A\leq B.
No nosso problema A=4x^{2}+x e B=x+4. Assim, para x\geq -4 temos a dupla desigualdade
-(x+4)\leq 4x^{2}+x \leq x+4.
Vamos tratar as duas desigualdades separadamente.

Passo 4

Resolver a desigualdade do lado direito:
4x^{2}+x \leq x+4.
Subtraindo x+4 dos dois lados:
4x^{2}+x-(x+4)\leq 0
4x^{2}-4\leq 0.
Fatorando:
4(x^{2}-1)\leq 0
4(x-1)(x+1)\leq 0.
A constante 4>0 não altera o sinal, então analisamos (x-1)(x+1)\leq 0. Um produto de dois fatores é menor ou igual a zero quando x está entre as raízes (incluindo-as). As raízes são x=-1 e x=1. Portanto essa desigualdade é satisfeita para
-1\leq x\leq 1.
(Dica rápida: o produto é negativo entre as raízes e zero nas próprias raízes.)

Passo 5

Resolver a desigualdade do lado esquerdo:
-(x+4)\leq 4x^{2}+x.
Reescrevendo:
4x^{2}+x + (x+4)\geq 0
4x^{2}+2x+4\geq 0.
Isto é um polinômio quadrático p(x)=4x^{2}+2x+4. Para saber onde p(x)\geq 0 é útil calcular o discriminante \Delta da quadrática ax^{2}+bx+c, que é \Delta=b^{2}-4ac. Aqui a=4, b=2, c=4, então
\Delta = 2^{2}-4\cdot 4\cdot 4 = 4-64 = -60.
Como \Delta<0, a quadrática não tem raízes reais e, sendo a=4>0, ela é sempre positiva para todo x\in\mathbb{R}. Logo
4x^{2}+2x+4>0\quad\text{para todo }x,
então a desigualdade 4x^{2}+2x+4\geq 0 é satisfeita por todos os reais x. Em outras palavras, a restrição do lado esquerdo não impõe limite adicional.

Passo 6

Juntando as condições obtidas:
  • Precisamos de x\geq -4 (para que x+4\geq 0); e
  • Da desigualdade direita obtemos -1\leq x\leq 1; e
  • A desigualdade esquerda é válida para todo x.
A interseção dessas condições é simplesmente o intervalo
-1\leq x\leq 1,
porque [-1,1]\subseteq [-4,\infty). Portanto todas as soluções da desigualdade original estão em [-1,1].

Passo 7

Verificação rápida dos extremos (importante na prova): testar x=-1 e x=1.
Para x=1:
\left|4(1)^{2}+1\right|=|4+1|=5,\qquad 1+4=5,\qquad 5\leq 5\\ \checkmark.
Para x=-1:
\left|4(-1)^{2}+(-1)\right|=|4-1|=3,\qquad -1+4=3,\qquad 3\leq 3\\ \checkmark.
Também vale checar um ponto fora do intervalo, por exemplo x=2:
\left|4(2)^{2}+2\right|=|16+2|=18,\qquad 2+4=6,\qquad 18\leq 6\\ \text{falso},
confirmando que valores fora não servem.

Resposta

\;[-1,1]

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