Resolva as desigualdades.
e) \left|x^{2}+4 x\right| \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left|x^{2}+4x\right| \leq 1.
Ou seja: encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade. As informações relevantes são:
  • A expressão dentro do valor absoluto é x^{2}+4x.
  • Queremos todos os x\in\mathbb{R} tais que o módulo dessa expressão seja menor ou igual a 1.

Passo 2

Regra útil sobre valor absoluto (pequena aula): para qualquer expressão A e qualquer número real b\ge 0,
|A| \le b \quad\Longleftrightarrow\quad -b \le A \le b.
Intuição rápida: |A| mede a distância de A até 0; dizer que essa distância é ≤ b é o mesmo que A estar dentro do segmento [-b,b].
Aplicando essa regra ao nosso caso, com A = x^{2}+4x e b=1, obtemos o sistema de desigualdades composto
-1 \le x^{2}+4x \le 1.

Passo 3

Para manipular x^{2}+4x de forma mais simples, faço a técnica de completar o quadrado (explico o que é): completar o quadrado transforma um polinômio quadrático numa forma (x+c)^{2}+d, que é mais fácil de analisar. Para x^{2}+4x:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4.
(Substituição: expandindo (x+2)^{2}-4 x^{2}+4x+4-4 = x^{2}+4x.)
Substituindo na desigualdade obtida:
-1 \le (x+2)^{2}-4 \le 1.

Passo 4

Somando 4 nas três partes da desigualdade (operação válida porque é monotônica), obtemos:
3 \le (x+2)^{2} \le 5.
Agora temos uma desigualdade dupla para um quadrado: o quadrado (x+2)^{2} deve ficar entre 3 e 5.

Passo 5

Resolver 3 \le (x+2)^{2} \le 5. Como (x+2)^{2}\ge 0, podemos aplicar raiz quadrada em cada lado (lembrando que \sqrt{\cdot} é não negativa) para obter uma desigualdade sobre o módulo:
\sqrt{3} \le |x+2| \le \sqrt{5}.
Explicando: dizer que o quadrado de algo está entre 3 e 5 é equivalente a dizer que o módulo desse algo está entre \sqrt{3} e \sqrt{5}.
Agora desdobramos o módulo em dois casos (regra: |u|\le v com v\ge0 equivale a -v \le u \le v, ou escrevendo como intervalos, u\in[-v,v]). Assim
  • Caso negativo (parte à esquerda): -\sqrt{5} \le x+2 \le -\sqrt{3}.
  • Caso positivo (parte à direita): \sqrt{3} \le x+2 \le \sqrt{5}.
Subtraindo 2 de todas as desigualdades para isolar x:
Do primeiro caso:
-2-\sqrt{5} \le x \le -2-\sqrt{3}.
Do segundo caso:
-2+\sqrt{3} \le x \le -2+\sqrt{5}.

Passo 6

União das soluções dos dois casos dá a solução completa da desigualdade original:
x \in \left[-2-\sqrt{5},\,-2-\sqrt{3}\right]\\ \cup\\ \left[-2+\sqrt{3},\,-2+\sqrt{5}\right].
Para intuir os valores: -2-\sqrt{5}\approx -4{,}236, -2-\sqrt{3}\approx -3{,}732, -2+\sqrt{3}\approx -0{,}268, -2+\sqrt{5}\approx 0{,}236. Assim duas “faixas” simétricas em torno de -2.

Resposta

\displaystyle \left[-2-\sqrt{5},\,-2-\sqrt{3}\right]
\displaystyle \left[-2+\sqrt{3},\,-2+\sqrt{5}\right]

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