Resolva as desigualdades.
f) |5-x| \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|5-x| \leq 3.
Informações dadas:
  • A expressão é um valor absoluto envolvendo a variável x.
  • Queremos todos os valores de x que satisfazem essa desigualdade (ou seja, o conjunto solução).

Passo 2

Entendendo o valor absoluto de forma intuitiva: para qualquer número u, |u| representa a distância entre u e 0 na reta. Assim, |5-x| é a distância entre 5 e x. A desigualdade |5-x| \leq 3 diz: "a distância entre x e 5 deve ser no máximo 3". Logo, esperamos uma faixa centrada em 5 com raio 3.

Passo 3

Agora a abordagem algébrica padrão (regra útil para a prova): para qualquer u e qualquer a\ge0,
|u|\le a \quad\Longleftrightarrow\quad -a \le u \le a.
Aqui tome u = 5-x e a=3. Portanto a desigualdade equivale ao sistema composto
-3 \le 5-x \le 3.

Passo 4

Vamos resolver passo a passo o composto -3 \le 5-x \le 3. Primeiro subtraímos 5 de todas as partes (operações feitas em todas as desigualdades ao mesmo tempo):
-3-5 \le 5-x-5 \le 3-5.
Calculando os termos:
-8 \le -x \le -2.

Passo 5

Agora multiplicamos toda a desigualdade por -1 para obter x positivo. Lembre-se: ao multiplicar por número negativo, os sinais das desigualdades invertem-se. Multiplicando por -1:
8 \ge x \ge 2.
Reescrevendo em ordem crescente:
2 \le x \le 8.

Passo 6

Checagem rápida dos extremos e de um ponto interno:
  • Para x=2: |5-2|=3\le3 OK (extremo incluído).
  • Para x=8: |5-8|=3\le3 OK (extremo incluído).
  • Para x=5: |5-5|=0\le3 OK (ponto interior).
  • Para x=1: |5-1|=4\nleq3 está fora, como esperado.

Resposta

2 \le x \le 8
[2,8]

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