Resolva as desigualdades.
e) \left|x-\frac{1}{2}\right|<2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade \left|x-\frac{1}{2}\right|<2.
Informações dadas:
  • A expressão é um valor absoluto em x: \left|x-\frac{1}{2}\right|.
  • A desigualdade é estrita: <2.
    O objetivo é encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Lembrete importante (definição usada): para qualquer número real u e qualquer a>0,
|u|<a \quad\Longleftrightarrow\quad -a<u<a.
Explicação curta do porquê: |u| mede a distância de u até 0. Dizer que essa distância é menor que a significa que u está a menos de a unidades de 0, isto é, entre -a e a.

Passo 3

Aplicando a definição com u = x-\frac{1}{2} e a=2, obtemos a desigualdade dupla
-2 < x-\frac{1}{2} < 2.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade composta isolando x. Para isso somamos \frac{1}{2} em todas as três partes da desigualdade:
-2 + \frac{1}{2} < x < 2 + \frac{1}{2}.
Fazendo as somas com frações:
-2 + \frac{1}{2} = -\frac{4}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}, \qquad 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.
Portanto chegamos a
-\frac{3}{2} < x < \frac{5}{2}.

Passo 5

Interpretando o resultado: a solução é o intervalo aberto \left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right). Os extremos não entram porque a desigualdade é estrita ( <, não \le).

Passo 6

Verificações rápidas para ganhar confiança:
  • Escolhendo x=0 (que está no intervalo), \left|0-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{1}{2}<2 (verdadeiro).
  • Escolhendo x=3 (fora do intervalo), \left|3-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{5}{2}>2 (falso).
  • Nos extremos: para x=\dfrac{5}{2}, \left|\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}\right|=2, não satisfaz porque queremos estritamente menor.

Passo 7

Dica geral para a prova (fórmula pronta): sempre que vir \left|x-a\right|<b com b>0, já pode escrever direto
\left|x-a\right|<b \Longleftrightarrow a-b < x < a+b.
No problema dado, a=\dfrac{1}{2} e b=2, o que dá exatamente o intervalo acima.

Resposta

\left(-\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right)

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