Resolva as desigualdades.
g) |4 x-9| \leq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
|4x-9| \leq 3.
Ou seja: encontrar todos os valores de x que tornam verdadeira essa desigualdade.

Passo 2

Conceito importante (a regra que vamos usar): para qualquer expressão A e qualquer número real B\ge 0 vale
|A| \le B \quad\Longleftrightarrow\quad -B \le A \le B.
Intuição simples: |A| mede a “distância” de A até 0; pedir |A|\le B é exigir que essa distância seja no máximo B, isto é, A esteja entre -B e B.
No nosso caso A=4x-9 e B=3 (e B é não negativo), então podemos aplicar essa equivalência.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso problema obtemos a desigualdade composta
-3 \le 4x-9 \le 3.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade composta passo a passo. Primeiro somamos 9 em todas as partes (somar o mesmo número em todas as partes preserva as desigualdades):
-3+9 \le 4x-9+9 \le 3+9,
portanto
6 \le 4x \le 12.

Passo 5

Em seguida dividimos todas as partes por 4. Como 4>0, a divisão por 4 preserva as desigualdades:
\frac{6}{4} \le x \le \frac{12}{4}.
Simplificando as frações:
\frac{3}{2} \le x \le 3.

Passo 6

Interpretação final: todos os x entre \tfrac{3}{2} e 3, incluindo os extremos (porque a desigualdade é \le), satisfazem a desigualdade. Podemos conferir rapidamente os extremos:
  • Para x=\tfrac{3}{2}: 4x-9=4\cdot\tfrac{3}{2}-9=6-9=-3 e |-3|=3\le3 ok.
  • Para x=3: 4x-9=12-9=3 e |3|=3\le3 ok.
    Um ponto fora do intervalo, por exemplo x=0, dá 4\cdot0-9=-9 e |-9|=9\not\le3, então não serve — consistência confirmada.

Resposta

\left[\tfrac{3}{2},\,3\right]

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