Resolva as desigualdades.
h) |2-x| \geq 6

Passo 1

Enunciado: Resolver a desigualdade |2-x| \geq 6.
O que o problema pede: encontrar todos os valores reais de x que tornam verdadeira a desigualdade dada.
Informações fornecidas:
  • A expressão envolvida é um valor absoluto: |2-x|.
  • A desigualdade é do tipo “maior ou igual a” com o número 6 no lado direito.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (regra que vou usar).
  • Para qualquer número real y\), o valor absoluto \(|y|\) é definido por: \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y \ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y < 0. \end{cases}
  • Uma propriedade muito útil para desigualdades é: se b\ge 0\], então \[|y| \ge b \quad\Longleftrightarrow\quad y \le -b \quad\text{ou}\quad y \ge b.\] Isto acontece porque a distância de \(y à origem é pelo menos b quando y está à direita de b ou à esquerda de -b.]

Passo 3

Simplificação inicial da expressão dentro do valor absoluto.
Note que
|2-x| = |x-2|
porque trocar os sinais dentro do valor absoluto não altera o resultado. Vou trabalhar com |x-2| por ser a forma padrão.

Passo 4

Aplicando a propriedade de desigualdade para valor absoluto com b=6 (que é não negativo).
Pela propriedade do passo anterior,
|x-2| \ge 6 \quad\Longleftrightarrow\quad x-2 \le -6 \quad\text{ou}\quad x-2 \ge 6.
Aqui o “ou” significa que basta uma das duas desigualdades ser verdadeira para que o valor absoluto seja pelo menos 6.

Passo 5

Resolver a primeira desigualdade x-2 \le -6.
  • Somando 2 em ambos os lados:
x-2 \le -6 \quad\Longrightarrow\quad x \le -6 + 2.
  • Calculando o lado direito:
-6 + 2 = -4,
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x \le -4.

Passo 6

Resolver a segunda desigualdade x-2 \ge 6.
  • Somando 2 em ambos os lados:
x-2 \ge 6 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 6 + 2.
  • Calculando o lado direito:
6 + 2 = 8,
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x \ge 8.

Passo 7

Juntar as soluções (união) e apresentar em notação de intervalo.
As soluções das duas desigualdades são x \le -4 e x \ge 8. Tomando a união:
x \in (-\infty,-4] \cup [8,\infty).
Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança):
  • Para x=-5: |2-(-5)| = |7| = 7 \ge 6 — funciona.
  • Para x=0: |2-0| = 2 < 6 — não funciona (fica fora da solução).
  • Para x=9: |2-9| = | -7| = 7 \ge 6 — funciona.

Resposta

(-\infty,-4]\cup[8,\infty)

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