Resolva as desigualdades.
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Passo 1
Enunciado: Resolver a desigualdade
.
O que o problema pede: encontrar todos os valores reais de
que tornam verdadeira a desigualdade dada.
Informações fornecidas:
- A expressão envolvida é um valor absoluto:
. - A desigualdade é do tipo “maior ou igual a” com o número
no lado direito.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (regra que vou usar).
- Para qualquer número real
- Uma propriedade muito útil para desigualdades é: se
à origem é pelo menos
quando está à direita de ou à esquerda de .]
Passo 3
Simplificação inicial da expressão dentro do valor absoluto.
Note que
Note que
porque trocar os sinais dentro do valor absoluto não altera o resultado. Vou trabalhar com
por ser a forma padrão.
Passo 4
Aplicando a propriedade de desigualdade para valor absoluto com
(que é não negativo).
Pela propriedade do passo anterior,
Pela propriedade do passo anterior,
Aqui o “ou” significa que basta uma das duas desigualdades ser verdadeira para que o valor absoluto seja pelo menos
.
Passo 5
Resolver a primeira desigualdade
.
- Somando
em ambos os lados:
- Calculando o lado direito:
logo
Passo 6
Resolver a segunda desigualdade
.
- Somando
em ambos os lados:
- Calculando o lado direito:
logo
Passo 7
Juntar as soluções (união) e apresentar em notação de intervalo.
As soluções das duas desigualdades são e
. Tomando a união:
As soluções das duas desigualdades são
Verificação rápida com exemplos numéricos (para ganhar confiança):
- Para
: — funciona. - Para
: — não funciona (fica fora da solução). - Para
: — funciona.