Resolva as desigualdades.
i) \left|x^{2}-4 x\right| \geq x^{2}+1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left|x^{2}-4x\right| \geq x^{2}+1.
Informações que temos (tudo que o enunciado dá):
A variável é x e ela é real (procuramos x\in\mathbb{R}).
A expressão do lado esquerdo é um valor absoluto: \left|x^{2}-4x\right|.
O lado direito é x^{2}+1.
A pergunta é: para quais valores de x a desigualdade acima é verdadeira?
Passo 2
Relembrando o que é valor absoluto e como tratamos desigualdades com valor absoluto, de forma bem didática:
Por definição, para qualquer expressão A\) temos
\[|A|=\begin{cases} A, & \text{se }A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se }A<0. \end{cases}
Para uma desigualdade do tipo |A|\ge B\] existem dois casos úteis:
- Se \(B\le 0, então |A|\ge B vale para todo A (pois |A|\ge0\ge B).
- Se B>0, então |A|\ge B é equivalente aA\ge B \quad\text{ou}\quad A\le -B.Essa equivalência vem diretamente da definição: se |A|=A então deve valer A\ge B; se |A|=-A então -A\ge B que é A\le -B.
Vou aplicar essa ideia com A=x^{2}-4x e B=x^{2}+1.]
Passo 3
Verificar o sinal de B. Aqui
x^{2}+1\ge 1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto B>0 sempre, logo podemos usar a equivalência do passo anterior:
Como o coeficiente de x^{2} é 2>0, o polinômio 2x^{2}-4x+1 é uma parábola voltada para cima. Logo a desigualdade 2x^{2}-4x+1\le 0 é satisfeita entre as raízes, inclusive nas extremidades. Portanto