Resolva as desigualdades.
i) \left|x^{2}-4 x\right| \geq x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left|x^{2}-4x\right| \geq x^{2}+1.
Informações que temos (tudo que o enunciado dá):
  • A variável é x e ela é real (procuramos x\in\mathbb{R}).
  • A expressão do lado esquerdo é um valor absoluto: \left|x^{2}-4x\right|.
  • O lado direito é x^{2}+1.
  • A pergunta é: para quais valores de x a desigualdade acima é verdadeira?

Passo 2

Relembrando o que é valor absoluto e como tratamos desigualdades com valor absoluto, de forma bem didática:
  • Por definição, para qualquer expressão A\) temos \[|A|=\begin{cases} A, & \text{se }A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se }A<0. \end{cases}
  • Para uma desigualdade do tipo |A|\ge B\] existem dois casos úteis: - Se \(B\le 0, então |A|\ge B vale para todo A (pois |A|\ge0\ge B).
    - Se B>0, então |A|\ge B é equivalente a A\ge B \quad\text{ou}\quad A\le -B.Essa equivalência vem diretamente da definição: se |A|=A então deve valer A\ge B; se |A|=-A então -A\ge B que é A\le -B.
Vou aplicar essa ideia com A=x^{2}-4x e B=x^{2}+1.]

Passo 3

Verificar o sinal de B. Aqui
x^{2}+1\ge 1>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Portanto B>0 sempre, logo podemos usar a equivalência do passo anterior:
\left|x^{2}-4x\right|\ge x^{2}+1 \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x^{2}-4x \ge x^{2}+1\quad\text{ou}\\[4pt] x^{2}-4x \le -\bigl(x^{2}+1\bigr). \end{cases}]

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade:
x^{2}-4x \ge x^{2}+1.
Subtraindo x^{2} de ambos os lados:
-4x \ge 1.
Agora dividir por -4. Lembre-se: ao dividir por número negativo trocamos o sentido da desigualdade. Assim
x \le -\tfrac{1}{4}.
Portanto a primeira parte da solução é x\in(-\infty, -\tfrac{1}{4}].

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade:
x^{2}-4x \le -\bigl(x^{2}+1\bigr).
Desenvolvendo o lado direito e trazendo tudo para o mesmo lado:
x^{2}-4x \le -x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}-4x+1 \le 0.
Temos uma inequação quadrática. Para resolvê-la, calculamos as raízes da equação associada 2x^{2}-4x+1=0.
Calculando o discriminante:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot 2\cdot 1 = 16-8=8.
As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2\cdot 2}=\frac{4\pm 2\sqrt{2}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{2}}{2}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
Como o coeficiente de x^{2} é 2>0, o polinômio 2x^{2}-4x+1 é uma parábola voltada para cima. Logo a desigualdade 2x^{2}-4x+1\le 0 é satisfeita entre as raízes, inclusive nas extremidades. Portanto
x\in\left[\,1-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\;,\;1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right].

Passo 6

Unindo as duas partes (lembre: a condição original é satisfeita se qualquer uma das duas desigualdades for satisfeita), a solução completa é a união:
(-\infty,-\tfrac{1}{4}] \;\cup\; \left[\,1-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right].

Passo 7

Pequena verificação com pontos:
  • Escolhendo x=-1 (está em (-\infty,-\tfrac{1}{4}]): |(-1)^{2}-4(-1)|=|1+4|=5 e (-1)^{2}+1=2. De fato 5\ge 2.
  • Escolhendo x=0 (não está na solução): |0-0|=0 e 0+1=1. Aqui 0\not\ge1, logo 0 não satisfaz — coerente.
  • Escolhendo x=1 (está no segundo intervalo): |1-4|=3 e 1+1=2. 3\ge2 ok.
  • Escolhendo x=2 (fora da solução): |4-8|=4 e 4+1=5. 4\not\ge5, então 2 não satisfaz — coerente.

Resposta

(-\infty,-\tfrac{1}{4}] \;\cup\; \left[\,1-\tfrac{\sqrt{2}}{2},\;1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right]

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