Resolva as desigualdades.
j) |3 x+7| \leq 4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade com valor absoluto
\lvert 3x+7\rvert \leq 4.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é 3x+7.
  • O lado direito é 4, que é um número não negativo.
    O que se pede: encontrar todos os valores de x reais que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Conceito importante (mini-aula): definição e interpretação do valor absoluto.
  • Para qualquer número real A e qualquer b\ge 0 vale a equivalência
\lvert A\rvert \le b \quad\Longleftrightarrow\quad -b \le A \le b.
Significado intuitivo: \lvert A\rvert é a distância de A até 0; exigir que essa distância seja menor ou igual a b significa que A está dentro do intervalo [-b,b].
Exemplo simples: \lvert t\rvert \le 2 equivale a -2\le t\le 2.

Passo 3

Aplicando a equivalência ao nosso caso, com A=3x+7 e b=4, obtemos a desigualdade composta
-4 \le 3x+7 \le 4.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade composta passo a passo (explicando cada operação).
  1. Subtrair 7 de todas as partes para isolar o termo com x:
-4-7 \le 3x+7-7 \le 4-7.
Fazendo as contas:
-11 \le 3x \le -3.
  1. Dividir todas as partes por 3. Como 3 é positivo, a direção das desigualdades não muda:
-\frac{11}{3} \le x \le -1.

Passo 5

Interpretação final e verificação rápida:
  • A solução em forma de intervalo é \left[-\dfrac{11}{3},-1\right].
  • Os extremos estão incluídos porque a desigualdade original era com \le. Verificação: para x=-1 temos 3(-1)+7=4 e \lvert 4\rvert=4\le4; para x=-\dfrac{11}{3} temos 3(-\dfrac{11}{3})+7=-4 e \lvert -4\rvert=4\le4.
  • Um ponto fora do intervalo, por exemplo x=0, dá \lvert 7\rvert=7>4, portanto não satisfaz — faz sentido.

Resposta

\left[-\dfrac{11}{3},-1\right]

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