Resolva as desigualdades.
j)
j)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações relevantes fornecidas:
- A desigualdade envolve valores absolutos
e . - Os pontos onde os módulos mudam de expressão são as raízes dos argumentos:
-
zera . -
zera .
-
- O objetivo é encontrar todos os
que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vou usar).
- Para resolver expressões com valores absolutos, é muito conveniente dividir a reta em intervalos em que cada argumento do módulo tem sinal conhecido; assim substitui-se cada
por ou por conforme o sinal. - Os pontos críticos são
e . Vou dividir em três intervalos: -
, -
, -
.
-
- Em cada região substituo
e pelas formas sem módulo correspondentes, e resolvo a desigualdade resultante (que será uma desigualdade polinomial). Para resolver desigualdades quadráticas, encontro as raízes e uso o sinal do polinômio entre as raízes (ou verifico o discriminante).
Passo 3
Região 1:
.
- Aqui
, logo . - Também, para
tem-se , então . - Substituindo na desigualdade:
Simplificando o lado esquerdo: Então a desigualdade fica Trazer tudo para um lado: ou equivalentemente - Agora analiso
. O discriminante é Como o coeficiente de é positivo e , o polinômio é sempre positivo para todo . Portanto a desigualdade não é satisfeita por nenhum . - Conclusão desta região: não há soluções com
.
Passo 4
Região 2:
.
- Aqui
, então . - Para
temos , logo . - Substituindo:
Simplificando o lado esquerdo: Então ficamos com Passando tudo para um lado: ou - Fatoremos:
A desigualdade é satisfeita quando está entre as raízes e , isto é . - Intersecção com a região considerada (
) dá - Conclusão desta região: as soluções aqui são
.
Passo 5
Região 3:
.
- Agora
e , então e . - Substituindo:
Simplificando o lado esquerdo: A desigualdade fica Passando tudo para um lado: ou - Fatoremos
. As raízes são encontradas por fatoração: Assim para . - Intersecção com a região
dá - Conclusão desta região: soluções são
.
Passo 6
Agora juntamos as soluções obtidas nas três regiões e checamos pontos de fronteira.
- Região 1 deu nada.
- Região 2 deu
. - Região 3 deu
. - A união das duas é
(pois está incluída na primeira parte). - Verificação rápida dos pontos limites:
-
: — verdadeiro (igualdade). -
: — verdadeiro. -
: — verdadeiro. -
(chequei antes): não satisfaz.
-
- Portanto a união correta e completa é
.