Resolva as desigualdades.
j) |x+1|-|2 x-3| \geq x^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x+1|-|2x-3|\geq x^{2}-2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A desigualdade envolve valores absolutos |x+1| e |2x-3|.
  • Os pontos onde os módulos mudam de expressão são as raízes dos argumentos:
    • x=-1 zera x+1.
    • x=\dfrac{3}{2} zera 2x-3.
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vou usar).
  • Para resolver expressões com valores absolutos, é muito conveniente dividir a reta em intervalos em que cada argumento do módulo tem sinal conhecido; assim substitui-se cada |\,\cdot\,| por + ou por - conforme o sinal.
  • Os pontos críticos são x=-1 e x=\dfrac{3}{2}. Vou dividir em três intervalos:
    1. x\leq -1,
    2. -1<x\leq \dfrac{3}{2},
    3. x>\dfrac{3}{2}.
  • Em cada região substituo |x+1| e |2x-3| pelas formas sem módulo correspondentes, e resolvo a desigualdade resultante (que será uma desigualdade polinomial). Para resolver desigualdades quadráticas, encontro as raízes e uso o sinal do polinômio entre as raízes (ou verifico o discriminante).

Passo 3

Região 1: x\leq -1.
  • Aqui x+1\leq 0, logo |x+1| = -(x+1) = -x-1.
  • Também, para x\leq -1 tem-se 2x-3\leq 2(-1)-3=-5<0, então |2x-3| = -(2x-3) = -2x+3.
  • Substituindo na desigualdade: (-x-1)-(-2x+3)\geq x^{2}-2.Simplificando o lado esquerdo: -x-1+2x-3 = x-4.Então a desigualdade fica x-4 \geq x^{2}-2.Trazer tudo para um lado: 0 \geq x^{2}-x+2,ou equivalentemente x^{2}-x+2 \leq 0.
  • Agora analiso x^{2}-x+2. O discriminante é \Delta = (-1)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 1-8 = -7 < 0.Como o coeficiente de x^{2} é positivo e \Delta<0, o polinômio x^{2}-x+2 é sempre positivo para todo x. Portanto a desigualdade x^{2}-x+2\leq 0 não é satisfeita por nenhum x.
  • Conclusão desta região: não há soluções com x\leq -1.

Passo 4

Região 2: -1 < x \leq \dfrac{3}{2}.
  • Aqui x+1>0, então |x+1| = x+1.
  • Para x\leq \dfrac{3}{2} temos 2x-3\leq 0, logo |2x-3| = -2x+3.
  • Substituindo: (x+1)-(-2x+3)\geq x^{2}-2.Simplificando o lado esquerdo: x+1+2x-3 = 3x-2.Então ficamos com 3x-2 \geq x^{2}-2.Passando tudo para um lado: 0 \geq x^{2}-3x,ou x^{2}-3x \leq 0.
  • Fatoremos: x^{2}-3x = x(x-3).A desigualdade x(x-3)\leq 0 é satisfeita quando x está entre as raízes 0 e 3, isto é 0\leq x\leq 3.
  • Intersecção com a região considerada ( -1<x\leq \tfrac{3}{2}) dá 0 \leq x \leq \tfrac{3}{2}.
  • Conclusão desta região: as soluções aqui são x\in[0,\tfrac{3}{2}].

Passo 5

Região 3: x>\dfrac{3}{2}.
  • Agora x+1>0 e 2x-3>0, então |x+1|=x+1 e |2x-3|=2x-3.
  • Substituindo: (x+1)-(2x-3)\geq x^{2}-2.Simplificando o lado esquerdo: x+1-2x+3 = -x+4.A desigualdade fica -x+4 \geq x^{2}-2.Passando tudo para um lado: 0 \geq x^{2}+x-6,ou x^{2}+x-6 \leq 0.
  • Fatoremos x^{2}+x-6. As raízes são encontradas por fatoração: x^{2}+x-6 = (x+3)(x-2).Assim x^{2}+x-6\leq 0 para -3 \leq x \leq 2.
  • Intersecção com a região x>\dfrac{3}{2} \tfrac{3}{2} < x \leq 2.
  • Conclusão desta região: soluções são x\in\bigl(\tfrac{3}{2},2\bigr].

Passo 6

Agora juntamos as soluções obtidas nas três regiões e checamos pontos de fronteira.
  • Região 1 deu nada.
  • Região 2 deu x\in[0,\tfrac{3}{2}].
  • Região 3 deu x\in\bigl(\tfrac{3}{2},2\bigr].
  • A união das duas é x\in[0,2] (pois \tfrac{3}{2} está incluída na primeira parte).
  • Verificação rápida dos pontos limites:
    • x=0: |0+1|-|0-3|=1-3=-2 \geq 0^{2}-2=-2 — verdadeiro (igualdade).
    • x=\tfrac{3}{2}: \bigl|\tfrac{3}{2}+1\bigr|-|2\cdot\tfrac{3}{2}-3| = \bigl|\tfrac{5}{2}\bigr|-|0|=\tfrac{5}{2}\geq \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-2=\tfrac{9}{4}-2=\tfrac{1}{4} — verdadeiro.
    • x=2: |3|-|1|=3-1=2\geq 4-2=2 — verdadeiro.
    • x=-1 (chequei antes): não satisfaz.
  • Portanto a união correta e completa é [0,2].

Resposta

[0,2]

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