Resolva as desigualdades.
l)
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Passo 1
O enunciado dá a desigualdade com valor absoluto
e pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A expressão dentro do valor absoluto é
. - O lado direito é
, que é um número não negativo.
Passo 2
Conceito necessário (explicado passo a passo, sem pressa): o valor absoluto de um número mede sua distância até zero na reta numérica. Para uma expressão genérica
e um número
, a desigualdade
significa que a distância de
até zero é pelo menos
. Geometricamente isso quer dizer que
está em ou além de
à direita, ou em ou além de
à esquerda. Em termos algébricos isso se transforma em duas possibilidades (disjunção):
Exemplo simples para visualizar:
significa
ou
.
Passo 3
Aplicando o conceito ao nosso problema: aqui
e
(notei que
, então a regra acima vale). Assim a desigualdade é equivalente a:
Passo 4
Vou resolver cada uma das desigualdades lineares separadamente, com todos os passos de manipulação algébrica (lembrando que, ao multiplicar ou dividir por número positivo, o sinal da desigualdade não muda).
Primeira desigualdade:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por
(número positivo):
Segunda desigualdade:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Combinação das soluções: como as duas condições são ligadas por “ou”, a solução final é a união dos conjuntos obtidos:
Em notação de intervalos isso fica:
Passo 6
Verificação rápida com exemplos (para ganhar confiança):
- Se
: e → verdadeiro. - Se
: e → não satisfaz (está entre e ). - Se
: e → verdadeiro.