Resolva as desigualdades.
a) \left|x^{2}-3\right| \geq 1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
\left|x^{2}-3\right| \geq 1,
isto é, encontrar todos os números reais x que satisfazem essa condição. As informações dadas são apenas a expressão dentro do valor absoluto, x^{2}-3, e o número 1 com o qual comparamos o módulo.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição que vamos usar: para qualquer número real y e qualquer a\ge 0,
|y|\ge a \quad\Longleftrightarrow\quad y\le -a\\ \text{ ou }\\ y\ge a.
Intuitivamente, |y| mede a distância de y até 0; exigir |y|\ge a significa que y está a uma distância pelo menos a de 0, isto é, ou à esquerda de -a ou à direita de a. Exemplo simples: |t|\ge 1 dá t\le -1 ou t\ge 1.
Passo 3
Aplicando essa equivalência com y=x^{2}-3 e a=1, obtemos a condição equivalente
x^{2}-3 \le -1 \quad\text{ou}\quad x^{2}-3 \ge 1.
Passo 4
Resolvendo a segunda desigualdade x^{2}-3 \ge 1:
x^{2}-3 \ge 1
x^{2} \ge 4.
Agora uso a propriedade de potência: x^{2}\ge 4 é equivalente a |x|\ge 2, isto é,
x \le -2 \quad\text{ou}\quad x \ge 2.
Observe que aqui os extremos -2 e 2 pertencem à solução porque a desigualdade é com \ge.
Passo 5
Resolvendo a primeira desigualdade x^{2}-3 \le -1:
x^{2}-3 \le -1
x^{2} \le 2.
Essa última condição é equivalente a |x|\le \sqrt{2}, ou seja,
-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}.
Aqui também os extremos -\sqrt{2} e \sqrt{2} pertencem à solução porque a desigualdade é com \le.
Passo 6
Agora faço a união das duas partes (lembre que o “ou” inicial se traduz em união de conjuntos):
da segunda desigualdade obtivemos x \in (-\infty,-2]\cup[2,\infty);
da primeira obtivemos x \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}].
Portanto a solução completa é a união desses conjuntos:
Vou checar intuitivamente alguns pontos para confirmar que fez sentido:
em x=2 temos |2^{2}-3|=|4-3|=1, que satisfaz \ge 1 — portanto 2 deve estar na solução (está).
em x=0 temos |0-3|=3\ge1 — note que 0 está em [-\sqrt{2},\sqrt{2}] e realmente satisfaz.
em x=1{,}6 (entre \sqrt{2}\approx1{,}414 e 2) temos x^{2}\approx 2{,}56, então |x^{2}-3|\approx 0{,}44<1 — logo esses pontos devem ser excluídos (e de fato há uma lacuna entre \sqrt{2} e 2, e simetricamente entre -2 e -\sqrt{2}).