Resolva as desigualdades.
o)
o)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto
Informações dadas:
- A expressão dentro do valor absoluto é
. - O módulo satisfaz duas restrições ao mesmo tempo: é maior ou igual a
e menor ou igual a .
O que se pede: encontrar todos os valores de
que tornam verdadeira a cadeia acima.
Passo 2
Conceito-chave sobre valor absoluto (explicação didática):
- Para qualquer expressão
e números reais e com , a desigualdade
é equivalente a
Por quê? O valor absoluto
mede a distância de
até
. Dizer que essa distância está entre
e
significa que
está a uma distância entre
e
de
, ou seja,
pode estar entre
e
(positivos) ou entre
e
(negativos). Essa é uma propriedade padrão do módulo e é muito útil para transformar desigualdades com
em intervalos sem módulo.
Vamos aplicar isso com
,
,
.
Passo 3
Aplicando a propriedade, obtemos a equivalência
Isso significa que precisamos resolver duas desigualdades separadas:
-
. -
.
Passo 4
Resolver a primeira desigualdade
.
Passos algébricos:
- Some
em todas as partes para isolar :
- Calcule os extremos:
e . Logo
- Divida por
. Como , o sentido das desigualdades não muda:
- Simplificando frações:
Portanto a solução da primeira parte é
.
Passo 5
Resolver a segunda desigualdade
.
Passos algébricos:
- Some
em todas as partes:
- Calcule os extremos:
e . Então
- Divida por
(positivo), mantendo as direções:
- Simplifique as frações:
Portanto a solução da segunda parte é
.
Passo 6
Juntando as duas partes (união), a solução da desigualdade original é
Checagem rápida (escolhendo pontos de teste):
- Para
(entre e ): , que está entre e — ok. - Para
(entre e ): , que não satisfaz — logo pontos intermediários não servem, o que confirma que temos duas faixas separadas. - Para
: , — incluído (extremo).