Resolva as desigualdades.
o) 3 \leq|4 x-7| \leq 5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto
3 \leq |4x-7| \leq 5.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é 4x-7.
  • O módulo satisfaz duas restrições ao mesmo tempo: é maior ou igual a 3 e menor ou igual a 5.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que tornam verdadeira a cadeia acima.

Passo 2

Conceito-chave sobre valor absoluto (explicação didática):
  • Para qualquer expressão u e números reais a e b com 0\le a\le b, a desigualdade
a \le |u| \le b
é equivalente a
u \in [-b,-a]\\ \cup\\ [a,b].
Por quê? O valor absoluto |u| mede a distância de u até 0. Dizer que essa distância está entre a e b significa que u está a uma distância entre a e b de 0, ou seja, u pode estar entre a e b (positivos) ou entre -b e -a (negativos). Essa é uma propriedade padrão do módulo e é muito útil para transformar desigualdades com |\cdot| em intervalos sem módulo.
Vamos aplicar isso com u=4x-7, a=3, b=5.

Passo 3

Aplicando a propriedade, obtemos a equivalência
3 \le |4x-7| \le 5 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x-7 \in [-5,-3]\\ \cup\\ [3,5].
Isso significa que precisamos resolver duas desigualdades separadas:
  1. -5 \le 4x-7 \le -3.
  2. 3 \le 4x-7 \le 5.

Passo 4

Resolver a primeira desigualdade -5 \le 4x-7 \le -3.
Passos algébricos:
  • Some 7 em todas as partes para isolar 4x:
-5 + 7 \le 4x \le -3 + 7.
  • Calcule os extremos: -5+7=2 e -3+7=4. Logo
2 \le 4x \le 4.
  • Divida por 4. Como 4>0, o sentido das desigualdades não muda:
\frac{2}{4} \le x \le \frac{4}{4}.
  • Simplificando frações:
\frac{1}{2} \le x \le 1.
Portanto a solução da primeira parte é x \in \left[\tfrac{1}{2},1\right].

Passo 5

Resolver a segunda desigualdade 3 \le 4x-7 \le 5.
Passos algébricos:
  • Some 7 em todas as partes:
3+7 \le 4x \le 5+7.
  • Calcule os extremos: 3+7=10 e 5+7=12. Então
10 \le 4x \le 12.
  • Divida por 4 (positivo), mantendo as direções:
\frac{10}{4} \le x \le \frac{12}{4}.
  • Simplifique as frações:
\frac{5}{2} \le x \le 3.
Portanto a solução da segunda parte é x \in \left[\tfrac{5}{2},3\right].

Passo 6

Juntando as duas partes (união), a solução da desigualdade original é
x \in \left[\tfrac{1}{2},1\right]\\ \cup\\ \left[\tfrac{5}{2},3\right].
Checagem rápida (escolhendo pontos de teste):
  • Para x=\tfrac{3}{4} (entre \tfrac{1}{2} e 1): 4x-7=3-7=-4, |-4|=4 que está entre 3 e 5 — ok.
  • Para x=2 (entre 1 e \tfrac{5}{2}): 4x-7=8-7=1, |1|=1 que não satisfaz — logo pontos intermediários não servem, o que confirma que temos duas faixas separadas.
  • Para x=3: 4x-7=12-7=5, |5|=5 — incluído (extremo).

Resposta

x\in\left[\tfrac{1}{2},1\right]\cup\left[\tfrac{5}{2},3\right]

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