Resolva as desigualdades.
n)
n)
Passo 1
O enunciado pede: resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto
Informações dadas:
- A incógnita é
, um número real. - A desigualdade é composta: ambas as condições
e devem ser satisfeitas simultaneamente. - Deve ser encontrado o conjunto de todos os
que satisfazem essa dupla desigualdade.
Passo 2
Entendendo o que é o valor absoluto de forma prática (a ideia que vamos usar várias vezes):
- Para qualquer real
, representa a distância de até na reta numérica. - Em particular,
é a distância entre e . - Assim,
significa: a distância de a é no máximo . - E
significa: a distância de a é pelo menos .
Vou também lembrar a forma algébrica padrão para resolver desigualdades com valor absoluto:
-
(com ) é equivalente a . -
(com ) é equivalente a ou .
Passo 3
Separei a desigualdade composta em duas desigualdades simples, que devem valer ao mesmo tempo:
Passo 4
Resolvo primeiro
usando a regra
.
Tomando e
, obtemos
Tomando
Agora isolamos
somando
em todas as três partes:
ou seja
Portanto o conjunto de soluções de
é o intervalo
.
Passo 5
Agora resolvo
. Usando a regra
, com
e
, temos duas possibilidades:
Isolando
em cada caso, somando
:
- Se
então . - Se
então .
Portanto o conjunto de soluções de
é
.
Passo 6
Queremos os
que satisfazem simultaneamente as duas condições; assim tomamos a interseção dos conjuntos encontrados:
Interseção com
corta cada ramo:
-
(porque ). -
(porque ).
Juntando os dois ramos, a interseção fica
Passo 7
Explicando de forma intuitiva (resumo prático): a condição diz que a distância de
a
deve estar entre
e
, inclusive. Na reta isso corresponde aos pontos que estão a partir de
a uma distância mínima
(ou seja, fora do intervalo
) mas não mais longe que
(ou seja, dentro de
). Isso deixa exatamente os dois blocos
e
.