Resolva as desigualdades.
m) \left|\frac{5 x}{4}-\frac{1}{2}\right| \leq 8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto:
\left|\frac{5 x}{4}-\frac{1}{2}\right| \leq 8.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do valor absoluto é \dfrac{5x}{4}-\dfrac{1}{2}.
  • O valor absoluto está menor ou igual a 8.
    O objetivo é encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade.

Passo 2

Lembrete sobre valor absoluto (aula rapidinha): para qualquer expressão A e número não negativo B vale a equivalência
|A| \leq B \quad\Longleftrightarrow\quad -B \leq A \leq B.
Isto porque o valor absoluto mede distância até zero; dizer que a distância de A até zero é no máximo B é a mesma coisa que A estar entre -B e B.

Passo 3

Aplicando essa regra com A=\dfrac{5x}{4}-\dfrac{1}{2} e B=8, obtemos a desigualdade dupla
-8 \leq \frac{5x}{4}-\frac{1}{2} \leq 8.

Passo 4

Agora resolvemos a desigualdade dupla passo a passo. Primeiro somamos \dfrac{1}{2} em todas as partes para isolar o termo com x. Fazendo as somas:
-8+\frac{1}{2} = -\frac{16}{2}+\frac{1}{2} = -\frac{15}{2}, \qquad 8+\frac{1}{2} = \frac{16}{2}+\frac{1}{2} = \frac{17}{2}.
Logo fica
-\frac{15}{2} \leq \frac{5x}{4} \leq \frac{17}{2}.

Passo 5

Agora multiplicamos toda a desigualdade por \dfrac{4}{5} para obter x. Como \dfrac{4}{5}>0, as desigualdades mantêm o sentido. Calculando cada extremidade:
\left(-\frac{15}{2}\right)\cdot\frac{4}{5} = -\frac{15\cdot4}{2\cdot5} = -\frac{60}{10} = -6,
\left(\frac{17}{2}\right)\cdot\frac{4}{5} = \frac{17\cdot4}{2\cdot5} = \frac{68}{10} = \frac{34}{5}.
Portanto obtemos
-6 \leq x \leq \frac{34}{5}.

Passo 6

Checagem rápida dos extremos (para ganhar confiança):
  • Se x=-6, então \dfrac{5x}{4}-\dfrac{1}{2} = -8 e |-8|=8, satisfeito.
  • Se x=\dfrac{34}{5}, então \dfrac{5x}{4}-\dfrac{1}{2} = 8 e |8|=8, satisfeito.
    Isso confirma que os extremos estão incluídos (desigualdade com \leq).

Resposta

\left[-6,\frac{34}{5}\right]

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