Resolva as desigualdades.
n) 2 \leq|x-1| \leq 7

Passo 1

O enunciado pede: resolver a desigualdade envolvendo valor absoluto
2 \leq |x-1| \leq 7.
Informações dadas:
  • A incógnita é x, um número real.
  • A desigualdade é composta: ambas as condições |x-1|\ge 2 e |x-1|\le 7 devem ser satisfeitas simultaneamente.
  • Deve ser encontrado o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem essa dupla desigualdade.

Passo 2

Entendendo o que é o valor absoluto de forma prática (a ideia que vamos usar várias vezes):
  • Para qualquer real y, |y| representa a distância de y até 0 na reta numérica.
  • Em particular, |x-1| é a distância entre x e 1.
  • Assim, |x-1|\le 7 significa: a distância de x a 1 é no máximo 7.
  • E |x-1|\ge 2 significa: a distância de x a 1 é pelo menos 2.
Vou também lembrar a forma algébrica padrão para resolver desigualdades com valor absoluto:
  • |u|\le a (com a\ge0) é equivalente a -a\le u\le a.
  • |u|\ge a (com a\ge0) é equivalente a u\le -a ou u\ge a.

Passo 3

Separei a desigualdade composta em duas desigualdades simples, que devem valer ao mesmo tempo:
|x-1|\ge 2 \qquad\text{e}\qquad |x-1|\le 7.

Passo 4

Resolvo primeiro |x-1|\le 7 usando a regra |u|\le a \Leftrightarrow -a\le u\le a.
Tomando u=x-1 e a=7, obtemos
-7 \le x-1 \le 7.
Agora isolamos x somando 1 em todas as três partes:
-7+1 \le x \le 7+1,
ou seja
-6 \le x \le 8.
Portanto o conjunto de soluções de |x-1|\le 7 é o intervalo [-6,8].

Passo 5

Agora resolvo |x-1|\ge 2. Usando a regra |u|\ge a \Leftrightarrow u\le -a \text{ ou } u\ge a, com u=x-1 e a=2, temos duas possibilidades:
x-1 \le -2 \qquad\text{ou}\qquad x-1 \ge 2.
Isolando x em cada caso, somando 1:
  • Se x-1\le -2 então x \le -1.
  • Se x-1\ge 2 então x \ge 3.
Portanto o conjunto de soluções de |x-1|\ge 2 é (-\infty,-1]\cup[3,\infty).

Passo 6

Queremos os x que satisfazem simultaneamente as duas condições; assim tomamos a interseção dos conjuntos encontrados:
\bigl([ -6,8 ]\bigr)\cap\bigl((-\infty,-1]\cup[3,\infty)\bigr).
Interseção com [ -6,8 ] corta cada ramo:
  • [ -6,8 ]\cap(-\infty,-1] = [ -6,-1] (porque -6\le x\le -1).
  • [ -6,8 ]\cap[3,\infty) = [3,8] (porque 3\le x\le 8).
Juntando os dois ramos, a interseção fica
[-6,-1]\cup[3,8].

Passo 7

Explicando de forma intuitiva (resumo prático): a condição diz que a distância de x a 1 deve estar entre 2 e 7, inclusive. Na reta isso corresponde aos pontos que estão a partir de 1 a uma distância mínima 2 (ou seja, fora do intervalo (-1,3)) mas não mais longe que 7 (ou seja, dentro de [-6,8]). Isso deixa exatamente os dois blocos [-6,-1] e [3,8].

Resposta

[-6,-1]\cup[3,8]

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