Resolva as desigualdades.
q) |x-4| \geq 3 x-8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x-4| \geq 3x-8.
Ou seja, encontrar todos os números reais x que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes dadas:
  • O lado esquerdo é um valor absoluto |x-4|, que é sempre não negativo.
  • O lado direito é a função linear 3x-8, definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Devemos determinar o conjunto de x reais que tornam verdadeira a desigualdade.

Passo 2

Uma observação útil sobre valores absolutos: para qualquer real a vale |a|\geq 0. Assim, se o lado direito da desigualdade for menor ou igual a zero, isto é, se 3x-8\leq 0, então a desigualdade será verdadeira para qualquer x que satisfaça essa condição (porque |x-4|\geq 0 \geq 3x-8). Vamos resolver essa condição:
3x-8\leq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x\leq 8 \quad\Longleftrightarrow\quad x\leq \tfrac{8}{3}.
Portanto, todos os x com x\leq \tfrac{8}{3} são soluções da desigualdade.

Passo 3

Falta tratar o caso em que o lado direito é positivo, pois aí não podemos usar a observação anterior. Logo consideramos:
3x-8>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>\tfrac{8}{3}.
Para esses x tanto |x-4| quanto 3x-8 são não negativos, então podemos manipular a desigualdade normalmente. Para eliminar o valor absoluto, dividimos esse caso em subcasos segundo o sinal de x-4 (isto é, se x\geq 4 ou se x<4).

Passo 4

Caso 1: x\geq 4. Nesse intervalo temos |x-4|=x-4. Substituindo na desigualdade obtemos
x-4 \geq 3x-8.
Resolvendo:
x-4-(3x-8)\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x-4-3x+8\geq 0
\Longleftrightarrow\quad -2x+4\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad -2x\geq -4 \quad\Longleftrightarrow\quad x\leq 2.
Mas esse resultado x\leq 2 é incompatível com a hipótese x\geq 4. Logo não existem soluções com x\geq 4.

Passo 5

Caso 2: \tfrac{8}{3}<x<4. Aqui x-4<0 e portanto |x-4|=4-x. Substituindo na desigualdade:
4-x \geq 3x-8.
Resolvendo:
4-x-(3x-8)\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4-x-3x+8\geq 0
\Longleftrightarrow\quad 12-4x\geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4x\leq 12 \quad\Longleftrightarrow\quad x\leq 3.
Combinar isso com a condição inicial deste caso ( \tfrac{8}{3}<x<4) dá
\tfrac{8}{3}<x\leq 3.
Portanto, os x estritamente maiores que \tfrac{8}{3} que satisfazem a desigualdade são exatamente aqueles no intervalo \left(\tfrac{8}{3},\,3\right].

Passo 6

Agora reunimos as soluções obtidas:
  • Do Passo 2: todos os x com x\leq \tfrac{8}{3} são soluções.
  • Do Passo 5: também são soluções os x com \tfrac{8}{3}<x\leq 3.
Unindo essas duas partes obtemos o conjunto de soluções buscado (aí sim apresento o resultado final na seção apropriada).

Resposta

x \leq 3

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