Resolva as desigualdades.
q)
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Ou seja, encontrar todos os números reais
que satisfazem essa desigualdade. Informações relevantes dadas:
- O lado esquerdo é um valor absoluto
, que é sempre não negativo. - O lado direito é a função linear
, definida para todo . - Devemos determinar o conjunto de
reais que tornam verdadeira a desigualdade.
Passo 2
Uma observação útil sobre valores absolutos: para qualquer real
vale
. Assim, se o lado direito da desigualdade for menor ou igual a zero, isto é, se
, então a desigualdade será verdadeira para qualquer
que satisfaça essa condição (porque
). Vamos resolver essa condição:
Portanto, todos os
com
são soluções da desigualdade.
Passo 3
Falta tratar o caso em que o lado direito é positivo, pois aí não podemos usar a observação anterior. Logo consideramos:
Para esses
tanto
quanto
são não negativos, então podemos manipular a desigualdade normalmente. Para eliminar o valor absoluto, dividimos esse caso em subcasos segundo o sinal de
(isto é, se
ou se
).
Passo 4
Caso 1:
. Nesse intervalo temos
. Substituindo na desigualdade obtemos
Resolvendo:
Mas esse resultado
é incompatível com a hipótese
. Logo não existem soluções com
.
Passo 5
Caso 2:
. Aqui
e portanto
. Substituindo na desigualdade:
Resolvendo:
Combinar isso com a condição inicial deste caso (
) dá
Portanto, os
estritamente maiores que
que satisfazem a desigualdade são exatamente aqueles no intervalo
.
Passo 6
Agora reunimos as soluções obtidas:
- Do Passo 2: todos os
com são soluções. - Do Passo 5: também são soluções os
com .
Unindo essas duas partes obtemos o conjunto de soluções buscado (aí sim apresento o resultado final na seção apropriada).