Resolva as desigualdades a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a desigualdade
. Esse exercício envolve o estudo de desigualdades com valor absoluto, um tema importante na matemática que nos ajuda a entender a distância entre números na reta numérica. Para resolver, vamos precisar conhecer o que é valor absoluto e como trabalhar com desigualdades que os envolvem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é valor absoluto. O valor absoluto de um número é sempre positivo e representa a distância desse número até zero na reta numérica. Por exemplo,
e
. Quando temos desigualdades com valores absolutos, precisamos considerar diferentes casos para resolver.
Passo 3
Para resolver
, vamos analisar os diferentes casos baseados nos sinais das expressões dentro dos valores absolutos. Isso significa que precisamos considerar quando
e
são positivos ou negativos.
Passo 4
Vamos dividir a resolução em duas partes, dependendo dos sinais das expressões:
Caso 1:
Nesse caso, . A desigualdade fica:
Nesse caso,
Agora, vamos considerar os subcasos para
:
-
Subcaso 1.1:
Então,. A desigualdade fica: Resolvendo para: Ou seja,. -
Subcaso 1.2:
Então,. A desigualdade fica: Resolvendo para:
No Caso 1, combinando as condições
e
, temos que
.
Caso 2:
Nesse caso, . A desigualdade fica:
Nesse caso,
Agora, vamos considerar os subcasos para
:
-
Subcaso 2.1:
Então,. A desigualdade fica: Resolvendo para: -
Subcaso 2.2:
Então,. A desigualdade fica: Resolvendo para:
No Caso 2, combinando as condições
e
, temos que
.
Resposta
A solução da desigualdade
é todo número real que satisfaz
ou
. Em intervalos, isso pode ser representado como: