Resolva as desigualdades.
t)
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Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações relevantes que já vêm do enunciado:
- As expressões dentro dos módulos são
e . - Essas expressões mudam de sinal em
(onde ) e em (onde ). - Portanto, os pontos
e são pontos críticos que dividem a reta em três intervalos onde as expressões dentro dos módulos têm sinais constantes: -
, -
, -
.
-
Passo 2
Primeiro uma lembrete didático sobre valor absoluto (para usarmos sem medo na prova):
- Por definição, para qualquer número real
,
Isto significa que, para resolver desigualdades com módulos, a técnica padrão é considerar os intervalos onde cada expressão dentro do módulo é positiva ou negativa, substituir o módulo pela expressão correspondente (com ou sem sinal trocado) e resolver a desigualdade linear resultante em cada intervalo. Vamos aplicar isso aos três intervalos identificados.]
Passo 3
Caso 1:
.
- Aqui
então . - Também
então .
Substituindo na desigualdade:
Calcule o lado esquerdo:
Logo
Isolando
:
Mas este resultado deve ser compatível com a hipótese do caso
. A condição
e
não têm interseção. Portanto, não há soluções neste intervalo.
Passo 4
Caso 2:
.
- Aqui
então . - E
(pois ) então .
Substituindo:
Calcule o lado esquerdo:
Portanto
Isolando
:
Agora intersecte isso com a hipótese do caso
. A interseção é
ou seja,
(note que
está dentro do intervalo porque
e satisfaz a desigualdade).
Passo 5
Caso 3:
.
- Aqui
então . - E
então .
Substituindo:
Calcule o lado esquerdo:
Logo
Isolando
:
Mas estamos no caso
, então a interseção é
Passo 6
Juntando os resultados dos casos 2 e 3 (caso 1 não trouxe soluções), temos:
- do caso 2:
, - do caso 3:
.
Unindo ambos os intervalos obtemos o conjunto solução
(Pequena verificação: em
e em
a desigualdade fica com igualdade, então os extremos devem ser incluídos.)