Resolva as desigualdades.
t) |x+5|-|3 x-1| \geq x-8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x+5|-|3x-1|\geq x-8.
Informações relevantes que já vêm do enunciado:
  • As expressões dentro dos módulos são x+5 e 3x-1.
  • Essas expressões mudam de sinal em x=-5 (onde x+5=0) e em x=\tfrac{1}{3} (onde 3x-1=0).
  • Portanto, os pontos x=-5 e x=\tfrac{1}{3} são pontos críticos que dividem a reta em três intervalos onde as expressões dentro dos módulos têm sinais constantes:
    • x\leq -5,
    • -5<x\leq \tfrac{1}{3},
    • x>\tfrac{1}{3}.

Passo 2

Primeiro uma lembrete didático sobre valor absoluto (para usarmos sem medo na prova):
  • Por definição, para qualquer número real a, |a|=\begin{cases} a, & \text{se } a\geq0,\\[4pt] -a, & \text{se } a<0. \end{cases}
Isto significa que, para resolver desigualdades com módulos, a técnica padrão é considerar os intervalos onde cada expressão dentro do módulo é positiva ou negativa, substituir o módulo pela expressão correspondente (com ou sem sinal trocado) e resolver a desigualdade linear resultante em cada intervalo. Vamos aplicar isso aos três intervalos identificados.]

Passo 3

Caso 1: x\leq -5.
  • Aqui x+5\leq0 então |x+5|=-(x+5)=-x-5.
  • Também 3x-1\leq 3(-5)-1=-16<0 então |3x-1|=-(3x-1)=-3x+1.
Substituindo na desigualdade:
(-x-5)-(-3x+1)\geq x-8.
Calcule o lado esquerdo:
-x-5+3x-1=2x-6.
Logo
2x-6\geq x-8.
Isolando x:
2x-6-x\geq -8 \quad\Rightarrow\quad x-6\geq -8 \quad\Rightarrow\quad x\geq -2.
Mas este resultado deve ser compatível com a hipótese do caso x\leq -5. A condição x\geq -2 e x\leq -5 não têm interseção. Portanto, não há soluções neste intervalo.

Passo 4

Caso 2: -5<x\leq \tfrac{1}{3}.
  • Aqui x+5>0 então |x+5|=x+5.
  • E 3x-1\leq0 (pois x\leq \tfrac{1}{3}) então |3x-1|=-(3x-1)=-3x+1.
Substituindo:
(x+5)-(-3x+1)\geq x-8.
Calcule o lado esquerdo:
x+5+3x-1=4x+4.
Portanto
4x+4\geq x-8.
Isolando x:
4x+4-x\geq -8 \quad\Rightarrow\quad 3x+4\geq -8 \quad\Rightarrow\quad 3x\geq -12 \quad\Rightarrow\quad x\geq -4.
Agora intersecte isso com a hipótese do caso -5<x\leq \tfrac{1}{3}. A interseção é
-4\leq x\leq \tfrac{1}{3},
ou seja, x\in[-4,\tfrac{1}{3}] (note que x=-4 está dentro do intervalo porque -4>-5 e satisfaz a desigualdade).

Passo 5

Caso 3: x>\tfrac{1}{3}.
  • Aqui x+5>0 então |x+5|=x+5.
  • E 3x-1>0 então |3x-1|=3x-1.
Substituindo:
(x+5)-(3x-1)\geq x-8.
Calcule o lado esquerdo:
x+5-3x+1=-2x+6.
Logo
-2x+6\geq x-8.
Isolando x:
-2x+6-x\geq -8 \quad\Rightarrow\quad -3x+6\geq -8 \quad\Rightarrow\quad -3x\geq -14 \quad\Rightarrow\quad x\leq \tfrac{14}{3}.
Mas estamos no caso x>\tfrac{1}{3}, então a interseção é
\tfrac{1}{3}<x\leq \tfrac{14}{3}.

Passo 6

Juntando os resultados dos casos 2 e 3 (caso 1 não trouxe soluções), temos:
  • do caso 2: x\in[-4,\tfrac{1}{3}],
  • do caso 3: x\in\big(\tfrac{1}{3},\tfrac{14}{3}\big].
Unindo ambos os intervalos obtemos o conjunto solução
[-4,\tfrac{14}{3}].
(Pequena verificação: em x=-4 e em x=\tfrac{14}{3} a desigualdade fica com igualdade, então os extremos devem ser incluídos.)

Resposta

\displaystyle [-4,\tfrac{14}{3}]

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