Resolva as desigualdades.
u) |x-2|+|x+8| \geq 2 x+12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x-2|+|x+8| \geq 2x+12.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A incógnita é x (real).
  • Há dois valores onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal: x=2 (pois x-2=0) e x=-8 (pois x+8=0).
  • A solução pedida é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Conceito útil sobre valor absoluto (pequena aula):
  • Para qualquer número real y\), \[|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Isto significa que, quando resolver desigualdades com somas de valores absolutos, é prático dividir a reta real em intervalos onde cada expressão dentro do módulo tem sinal conhecido. Aqui, os pontos que dividem os intervalos são x=-8\] e \(x=2. Assim, vamos estudar três intervalos:
  1. x\ge 2,
  2. -8 \le x < 2,
  3. x< -8.]

Passo 3

Analisando o caso x\ge 2.
Nessa região temos x-2\ge 0 e x+8\ge 0. Então
|x-2|+|x+8|=(x-2)+(x+8)=2x+6.
A desigualdade torna-se
2x+6 \ge 2x+12.
Subtraindo 2x dos dois lados obtemos
6 \ge 12,
o que é falso. Portanto não existe x\ge 2 que satisfaça a desigualdade.

Passo 4

Analisando o caso -8 \le x < 2.
Aqui x+8\ge 0 (logo |x+8|=x+8) e x-2<0 (logo |x-2|=-(x-2)=2-x). Assim
|x-2|+|x+8|=(2-x)+(x+8)=10.
A desigualdade fica
10 \ge 2x+12.
Subtraindo 12 de ambos os lados:
-2 \ge 2x.
Dividindo por 2 (lembrando que é positivo, então o sinal não muda):
-1 \ge x,
ou seja
x \le -1.
Mas estamos no intervalo -8 \le x < 2, então as soluções nesta faixa são os x que satisfazem simultaneamente -8 \le x < 2 e x \le -1. Portanto, nesta região obtemos
-8 \le x \le -1.

Passo 5

Analisando o caso x< -8.
Agora x-2<0 e x+8<0. Assim |x-2|=2-x e |x+8|=-(x+8)=-x-8. Somando:
|x-2|+|x+8|=(2-x)+(-x-8)=-2x-6.
A desigualdade é
-2x-6 \ge 2x+12.
Passando os x para um lado e constantes para o outro:
-6-12 \ge 2x+2x \quad\Rightarrow\quad -18 \ge 4x.
Dividindo por 4>0:
- \tfrac{18}{4} \ge x \quad\Rightarrow\quad -\tfrac{9}{2} \ge x,
ou seja
x \le -\tfrac{9}{2}.
Mas estamos impondo também x< -8. Observando que todo x< -8 satisfaz x \le -\tfrac{9}{2} (porque -8 < -\tfrac{9}{2}), concluímos que todo x< -8 satisfaz a desigualdade. Logo as soluções nesta faixa são todos os x tais que x< -8.

Passo 6

Agora vamos juntar as soluções obtidas em cada intervalo:
  • do passo 3: nenhum x\ge 2;
  • do passo 4: -8 \le x \le -1;
  • do passo 5: x< -8.
Unindo as duas últimas partes (toda a reta até -1), a solução da desigualdade é
x \le -1.

Resposta

x\le -1

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