Resolva as desigualdades.
u)
u)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a desigualdade
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A incógnita é
(real). - Há dois valores onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal:
(pois ) e (pois ). - A solução pedida é o conjunto de todos os
que satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Conceito útil sobre valor absoluto (pequena aula):
- Para qualquer número real
Isto significa que, quando resolver desigualdades com somas de valores absolutos, é prático dividir a reta real em intervalos onde cada expressão dentro do módulo tem sinal conhecido. Aqui, os pontos que dividem os intervalos são
. Assim, vamos estudar três intervalos:
-
, -
, -
.]
Passo 3
Analisando o caso
.
Nessa região temos
e
. Então
A desigualdade torna-se
Subtraindo
dos dois lados obtemos
o que é falso. Portanto não existe
que satisfaça a desigualdade.
Passo 4
Analisando o caso
.
Aqui
(logo
) e
(logo
). Assim
A desigualdade fica
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
(lembrando que é positivo, então o sinal não muda):
ou seja
Mas estamos no intervalo
, então as soluções nesta faixa são os
que satisfazem simultaneamente
e
. Portanto, nesta região obtemos
Passo 5
Analisando o caso
.
Agora
e
. Assim
e
. Somando:
A desigualdade é
Passando os
para um lado e constantes para o outro:
Dividindo por
:
ou seja
Mas estamos impondo também
. Observando que todo
satisfaz
(porque
), concluímos que todo
satisfaz a desigualdade. Logo as soluções nesta faixa são todos os
tais que
.
Passo 6
Agora vamos juntar as soluções obtidas em cada intervalo:
- do passo 3: nenhum
; - do passo 4:
; - do passo 5:
.
Unindo as duas últimas partes (toda a reta até
), a solução da desigualdade é