Resolva as desigualdades.
v)
v)
Passo 1
O enunciado pede resolver a desigualdade
Informações dadas e o que é pedido:
- A incógnita é
. - A desigualdade envolve soma de valores absolutos
e e o lado direito é . - Deve-se encontrar todos os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto (mini-aula):
- Para um número real
- Em palavras:
até
; é sempre não negativo. - Quando aparecer
, devemos considerar o sinal de : se então ; se então . - Para resolver desigualdades com somas de valores absolutos, é comum dividir a reta real em intervalos determinados pelos pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal (aqui os pontos são
e ) e tratar cada intervalo separadamente.]
Passo 3
Determinar os pontos críticos e dividir em casos:
- As expressões dentro dos módulos são
e . Elas mudam de sinal em e . - Vamos estudar a desigualdade nos três intervalos naturais:
-
, -
, -
.
Em cada intervalo substituímos os módulos pela forma sem módulo correspondente e resolvemos a desigualdade resultante.
-
Passo 4
Caso 1:
.
- Aqui
e . Logo
- Somando:
- A desigualdade vira
- Resolver passo a passo:
- Conclusão do caso 1: a solução obtida
não intersecta o intervalo considerado . Portanto não há solução neste caso.
Passo 5
Comentário sobre
negativo: já ficou implícito no caso
que números negativos foram considerados — a desigualdade falhou para todo
. Não existe solução com
.
Passo 6
Caso 2:
.
- Aqui
e . Assim
- Somando:
- A desigualdade fica
- Resolver com a restrição do caso:
- Interseção dá
- Portanto, todo
em satisfaz a desigualdade.
Passo 7
Observação didática: nesse intervalo a soma dos módulos simplificou para uma constante (
). Isso acontece porque um termo aumenta com
e o outro diminui com
e os
se cancelaram.
Passo 8
Caso 3:
.
- Aqui
e . Logo
- Somando:
- A desigualdade vira
- Resolver:
- Com a restrição
, obtemos
- Portanto todo
em satisfaz a desigualdade.
Passo 9
Verificação dos extremos e consistência:
- Em
: e é verdadeiro. - Em
: e é verdadeiro. - Em
: e é verdadeiro. - Para
escolhemos um valor teste, por exemplo : e é falso, consistente com a ausência de solução naquele intervalo. - Para
escolhemos : e é falso, consistente com a exclusão de .
Passo 10
Juntando as soluções dos casos:
- Do caso 2 obtivemos
. - Do caso 3 obtivemos
. - A união é o intervalo contínuo
.