Resolva as desigualdades.
v) |x-9|+|x-3| \leq x

Passo 1

O enunciado pede resolver a desigualdade
|x-9| + |x-3| \leq x.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A incógnita é x.
  • A desigualdade envolve soma de valores absolutos |x-9| e |x-3| e o lado direito é x.
  • Deve-se encontrar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto (mini-aula):
  • Para um número real t\), o valor absoluto \(|t|\) é definido por \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t \ge 0,\\[6pt] -t, & \text{se } t < 0. \end{cases}
  • Em palavras: |t|\] é a distância de \(t até 0; é sempre não negativo.
  • Quando aparecer |x-a|, devemos considerar o sinal de x-a: se x\ge a então |x-a|=x-a; se x<a então |x-a|=a-x.
  • Para resolver desigualdades com somas de valores absolutos, é comum dividir a reta real em intervalos determinados pelos pontos onde as expressões dentro dos módulos mudam de sinal (aqui os pontos são x=3 e x=9) e tratar cada intervalo separadamente.]

Passo 3

Determinar os pontos críticos e dividir em casos:
  • As expressões dentro dos módulos são x-9 e x-3. Elas mudam de sinal em x=9 e x=3.
  • Vamos estudar a desigualdade nos três intervalos naturais:
    1. x<3,
    2. 3\le x<9,
    3. x\ge 9.
      Em cada intervalo substituímos os módulos pela forma sem módulo correspondente e resolvemos a desigualdade resultante.

Passo 4

Caso 1: x<3.
  • Aqui x-9<0 e x-3<0. Logo
|x-9|=9-x,\qquad |x-3|=3-x.
  • Somando:
|x-9|+|x-3|=(9-x)+(3-x)=12-2x.
  • A desigualdade vira
12-2x \le x.
  • Resolver passo a passo:
12-2x \le x \quad\Longrightarrow\quad 12 \le 3x \quad\Longrightarrow\quad x \ge 4.
  • Conclusão do caso 1: a solução obtida x\ge 4 não intersecta o intervalo considerado x<3. Portanto não há solução neste caso.

Passo 5

Comentário sobre x negativo: já ficou implícito no caso x<3 que números negativos foram considerados — a desigualdade falhou para todo x<3. Não existe solução com x<3.

Passo 6

Caso 2: 3 \le x < 9.
  • Aqui x-3\ge 0 e x-9<0. Assim
|x-3|=x-3,\qquad |x-9|=9-x.
  • Somando:
|x-9|+|x-3|=(9-x)+(x-3)=6.
  • A desigualdade fica
6 \le x.
  • Resolver com a restrição do caso:
x \ge 6 \quad\text{e}\quad 3 \le x < 9.
  • Interseção dá
6 \le x < 9.
  • Portanto, todo x em [6,9) satisfaz a desigualdade.

Passo 7

Observação didática: nesse intervalo a soma dos módulos simplificou para uma constante ( 6). Isso acontece porque um termo aumenta com x e o outro diminui com x e os x se cancelaram.

Passo 8

Caso 3: x \ge 9.
  • Aqui x-3\ge 0 e x-9\ge 0. Logo
|x-3|=x-3,\qquad |x-9|=x-9.
  • Somando:
|x-9|+|x-3|=(x-9)+(x-3)=2x-12.
  • A desigualdade vira
2x-12 \le x.
  • Resolver:
2x-12 \le x \quad\Longrightarrow\quad x \le 12.
  • Com a restrição x\ge 9, obtemos
9 \le x \le 12.
  • Portanto todo x em [9,12] satisfaz a desigualdade.

Passo 9

Verificação dos extremos e consistência:
  • Em x=6: |6-9|+|6-3|=3+3=6 e 6\le6 é verdadeiro.
  • Em x=9: |9-9|+|9-3|=0+6=6 e 6\le9 é verdadeiro.
  • Em x=12: |12-9|+|12-3|=3+9=12 e 12\le12 é verdadeiro.
  • Para x<3 escolhemos um valor teste, por exemplo x=0: |-9|+|-3|=9+3=12 e 12\le0 é falso, consistente com a ausência de solução naquele intervalo.
  • Para x>12 escolhemos x=13: |13-9|+|13-3|=4+10=14 e 14\le13 é falso, consistente com a exclusão de x>12.

Passo 10

Juntando as soluções dos casos:
  • Do caso 2 obtivemos [6,9).
  • Do caso 3 obtivemos [9,12].
  • A união é o intervalo contínuo [6,12].

Resposta

[6,12]

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