Identifique, na reta real, os intervalos definidos pelas desigualdades.
a) |x| \leq \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede que eu identifique, na reta real, os intervalos de x que satisfazem a desigualdade
|x| \le \sqrt{2}.
Informações dadas: o valor \sqrt{2} é um número real positivo. O objetivo é escrever o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que obedecem a essa desigualdade, preferivelmente em notação de intervalo.

Passo 2

Vou lembrar o que é valor absoluto e como ele se comporta, para a gente não se perder:
|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0,\\[4pt] -x, & x < 0. \end{cases}
Isso significa que o valor absoluto mede a distância de x até 0 na reta real: sempre é não negativo e torna negativos em positivos.]

Passo 3

Agora resolvo a desigualdade usando a definição por casos.
Caso 1: suponha x \ge 0.
Então |x| = x e a desigualdade vira
x \le \sqrt{2}.
Combinando com x \ge 0 obtemos
0 \le x \le \sqrt{2}.
Caso 2: suponha x < 0.
Então |x| = -x e a desigualdade vira
-x \le \sqrt{2}.
Multiplicando por -1 (e lembrando que muda o sinal da desigualdade) obtemos
x \ge -\sqrt{2}.
Combinando com x < 0 obtemos
-\sqrt{2} \le x < 0.
Unindo os dois casos (os pontos negativos e os não-negativos), a solução completa é
-\sqrt{2} \le x \le \sqrt{2}.

Passo 4

Uma forma direta e útil de recordar esse resultado é a propriedade geral: para a\ge 0,
|x| \le a \quad\Longleftrightarrow\quad -a \le x \le a.
Aqui a=\sqrt{2}, portanto a solução em notação de intervalo é
\left[-\sqrt{2},\,\sqrt{2}\right].
Para intuição numérica, \sqrt{2}\approx 1,4142, então estamos falando do intervalo [-1,4142,\;1,4142] aproximadamente.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (para memorizar e usar rápido):
  • |x| < a com a>0 corresponde a (-a,a) (intervalo aberto).
  • |x| \le a com a>0 corresponde a [-a,a] (intervalo fechado).
  • |x| > a corresponde a (-\infty,-a)\cup(a,\infty).
  • |x| \ge a corresponde a (-\infty,-a]\cup[a,\infty).
Exemplos curtos:
  • |x|<3 \Rightarrow x\in(-3,3).
  • |x|\ge 1 \Rightarrow x\in(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Resposta

\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]

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