Resolva a EDO:
\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y-x-1}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=\frac{y-x}{y-x-1}
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes que já temos:
  • A equação relaciona a derivada \dfrac{dy}{dx} com a expressão y-x.
  • Devemos encontrar a família de curvas y(x) que satisfazem essa relação, com uma constante arbitrária de integração.
  • Atenção: a expressão do lado direito tem denominador y-x-1, então pontos onde y-x-1=0 (isto é, y-x=1) precisam ser tratados com cuidado, pois ali a função não está definida.

Passo 2

Observação/estratégia (motivo da escolha): o lado direito depende apenas da combinação y-x. Nesses casos é muito útil fazer a substituição
u = y-x.
Vou explicar por quê: se a equação depende de y e x apenas por meio de y-x, trabalhar com u=y-x transforma a EDO numa equação para u(x) mais simples. Agora relaciono as derivadas: diferenciando u=y-x em relação a x
\frac{d u}{d x}=\frac{d y}{d x}-1,
porque \dfrac{d}{dx}(x)=1.

Passo 3

Substituo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-x}{y-x-1} em termos de u. Como y-x=u, a equação original vira
\frac{d y}{d x}=\frac{u}{u-1}.
Usando \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d u}{d x}+1 (do passo anterior), obtemos
\frac{d u}{d x}+1=\frac{u}{u-1}.
Agora isolo \dfrac{du}{dx}:
\frac{d u}{d x}=\frac{u}{u-1}-1.

Passo 4

Faço a simplificação algébrica do lado direito:
\frac{u}{u-1}-1=\frac{u-(u-1)}{u-1}=\frac{1}{u-1}.
Portanto a equação para u fica
\frac{d u}{d x}=\frac{1}{u-1}.
Esta é uma equação separável: podemos rearranjar os termos para colocar as quantidades em u do lado esquerdo e a parcela em x do lado direito:
(u-1)\,du = dx.

Passo 5

Integro os dois lados. Vou explicar as integrais: a integral de u em u é \tfrac{1}{2}u^2 e a integral de constantes em u é a constante vezes u. Assim,
\int (u-1)\,du = \int dx.
Calculando:
\frac{1}{2}u^2 - u = x + C,
onde C é a constante arbitrária de integração (apareceu ao integrar o lado direito).

Passo 6

Volto à variável original y substituindo u=y-x. Primeiro escrevo a solução de forma conveniente:
\frac{1}{2}(y-x)^2 - (y-x) - x = C.
Multiplicando por 2 e simplificando, posso obter uma forma mais compacta e limpa. Multiplicando por 2:
(y-x)^2 - 2(y-x) - 2x = C_1,
onde C_1=2C é outra constante arbitrária. Desenvolvendo e simplificando os termos:
(y-x)^2 - 2(y-x) - 2x = y^2 -2xy + x^2 -2y +2x -2x = y^2 -2xy + x^2 -2y.
Portanto a forma implícita da solução geral é
y^2 - 2xy + x^2 - 2y = C_1,
com C_1 constante arbitrária. Esta é a família de curvas solução (implantando a restrição y-x\neq1 nos pontos onde a equação original não está definida).

Passo 7

Se quiser uma forma explícita y=y(x), trato a expressão acima como uma equação quadrática em y. Reescrevendo:
y^2 - 2(x+1)\,y + x^2 - C_1 = 0.
Aplico a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
\Delta = [ -2(x+1)]^2 - 4\cdot 1\cdot (x^2 - C_1)=4(x+1)^2 -4(x^2 - C_1)=4\bigl(2x+1 + C_1\bigr).
Tomando a raiz quadrada e dividindo por 2, obtemos
y = x+1 \pm \sqrt{2x+1 + C_1}.
Aqui a constante C_1 já foi absorvida na forma final; para cada escolha de C_1 tem-se a família de soluções explícitas, sujeitas à condição de que o radicando seja não negativo:
2x+1 + C_1 \ge 0.
Observe também que a reta y=x+1 (que daria u=1) NÃO é solução porque o lado direito original ficaria \dfrac{1}{0}, indefinido.

Passo 8

Resumo rápido e incentivo: conseguimos transformar a EDO usando a substituição u=y-x, reduzir a um problema separável, integrar e voltar à variável original. Você agora tem a solução implícita e a forma explícita; na prova faça a substituição e integração com cuidado e lembre-se de verificar pontos onde o denominador fica zero. Vai dar certo — já é um grande passo!

Resposta

y^2 - 2xy + x^2 - 2y = C
\text{ou explicitamente}\qquad y = x+1 \pm \sqrt{2x+1 + C},
com C constante arbitrária e lembrando que y-x\neq 1.

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