Resolva a EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
e pede a solução geral
. Informações relevantes que já temos:
- A equação relaciona a derivada
com a expressão . - Devemos encontrar a família de curvas
que satisfazem essa relação, com uma constante arbitrária de integração. - Atenção: a expressão do lado direito tem denominador
, então pontos onde (isto é, ) precisam ser tratados com cuidado, pois ali a função não está definida.
Passo 2
Observação/estratégia (motivo da escolha): o lado direito depende apenas da combinação
. Nesses casos é muito útil fazer a substituição
Vou explicar por quê: se a equação depende de
e
apenas por meio de
, trabalhar com
transforma a EDO numa equação para
mais simples. Agora relaciono as derivadas: diferenciando
em relação a
dá
porque
.
Passo 3
Substituo
em termos de
. Como
, a equação original vira
Usando
(do passo anterior), obtemos
Agora isolo
:
Passo 4
Faço a simplificação algébrica do lado direito:
Portanto a equação para
fica
Esta é uma equação separável: podemos rearranjar os termos para colocar as quantidades em
do lado esquerdo e a parcela em
do lado direito:
Passo 5
Integro os dois lados. Vou explicar as integrais: a integral de
em
é
e a integral de constantes em
é a constante vezes
. Assim,
Calculando:
onde
é a constante arbitrária de integração (apareceu ao integrar o lado direito).
Passo 6
Volto à variável original
substituindo
. Primeiro escrevo a solução de forma conveniente:
Multiplicando por
e simplificando, posso obter uma forma mais compacta e limpa. Multiplicando por
:
onde
é outra constante arbitrária. Desenvolvendo e simplificando os termos:
Portanto a forma implícita da solução geral é
com
constante arbitrária. Esta é a família de curvas solução (implantando a restrição
nos pontos onde a equação original não está definida).
Passo 7
Se quiser uma forma explícita
, trato a expressão acima como uma equação quadrática em
. Reescrevendo:
Aplico a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
Tomando a raiz quadrada e dividindo por
, obtemos
Aqui a constante
já foi absorvida na forma final; para cada escolha de
tem-se a família de soluções explícitas, sujeitas à condição de que o radicando seja não negativo:
Observe também que a reta
(que daria
) NÃO é solução porque o lado direito original ficaria
, indefinido.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo: conseguimos transformar a EDO usando a substituição
, reduzir a um problema separável, integrar e voltar à variável original. Você agora tem a solução implícita e a forma explícita; na prova faça a substituição e integração com cuidado e lembre-se de verificar pontos onde o denominador fica zero. Vai dar certo — já é um grande passo!
Resposta
com
constante arbitrária e lembrando que
.