Sejam
. Mostre que:
, com
raiz de
, é solução da equação
0.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
- Dados
. - Seja
uma raiz da equação quadrática
- Define-se a função
.
O que se pede: mostrar que
satisfaz a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem
Passo 2
Calcular a primeira derivada
. Explicando devagar: a função
é uma exponencial composta
com
. Pela regra da cadeia, a derivada de
é
. Aqui
(porque
é constante). Portanto,
Passo 3
Calcular a segunda derivada
. Diferenciando
:
é constante, então a derivada é
vezes a derivada de
, que novamente é
. Assim
Passo 4
Substituir
,
e
na expressão
. Fazendo a substituição obtém-se
Passo 5
Fatorar
na expressão obtida. Como
é um fator comum em todos os termos,
Passo 6
Usar a hipótese sobre
. Pelo enunciado,
é raiz da equação
. Logo o fator entre parênteses é zero. Portanto
Como o lado esquerdo da equação diferencial ficou zero para todo
, concluímos que
é de fato uma solução da equação
.