Sejam \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}. Mostre que:
y(t)=e^{r t}, com r raiz de a r^{2}+b r+c=0, é solução da equação a y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y= 0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
  • Dados a,b,c\in\mathbb{R}.
  • Seja r uma raiz da equação quadrática
a r^{2} + b r + c = 0.
  • Define-se a função y(t)=e^{r t}.
O que se pede: mostrar que y(t)=e^{r t} satisfaz a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem
a\,y''(t) + b\,y'(t) + c\,y(t) = 0.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y'(t). Explicando devagar: a função y(t) é uma exponencial composta y(t)=e^{u(t)} com u(t)=r t. Pela regra da cadeia, a derivada de e^{u(t)} é u'(t)\,e^{u(t)}. Aqui u'(t)=r (porque r é constante). Portanto,
y'(t)=r\,e^{r t}.

Passo 3

Calcular a segunda derivada y''(t). Diferenciando y'(t)=r\,e^{r t}: r é constante, então a derivada é r vezes a derivada de e^{r t}, que novamente é r\,e^{r t}. Assim
y''(t)=r\cdot (r\,e^{r t})=r^{2}\,e^{r t}.

Passo 4

Substituir y(t), y'(t) e y''(t) na expressão a\,y''+b\,y'+c\,y. Fazendo a substituição obtém-se
a\,y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t) = a\,(r^{2}e^{r t}) + b\,(r e^{r t}) + c\,(e^{r t}).

Passo 5

Fatorar e^{r t} na expressão obtida. Como e^{r t} é um fator comum em todos os termos,
a\,r^{2}e^{r t} + b\,r e^{r t} + c\,e^{r t} = e^{r t}\,(a r^{2} + b r + c).

Passo 6

Usar a hipótese sobre r. Pelo enunciado, r é raiz da equação a r^{2} + b r + c = 0. Logo o fator entre parênteses é zero. Portanto
e^{r t}\,(a r^{2} + b r + c) = e^{r t}\cdot 0 = 0.
Como o lado esquerdo da equação diferencial ficou zero para todo t, concluímos que y(t)=e^{r t} é de fato uma solução da equação a\,y''+b\,y'+c\,y=0.

Resposta

y(t)=e^{r t} é solução da equação a\,y''+b\,y'+c\,y=0.

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