Resolva a EDO:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial ordinária e encontrar a solução geral
da EDO
Informações dadas e observações iniciais:
- A equação envolve
, a derivada de em relação a . - Há um fator
multiplicando , logo a divisão por será necessária e exige . - O objetivo é encontrar a solução geral
(com constante arbitrária de integração). - Não há condições iniciais fornecidas, então vamos obter a família geral de soluções válida no intervalo onde
. Para manipular raízes reais abaixo vou assumir (posso mencionar depois como adaptar para ).
Passo 2
Colocar a EDO na forma linear padrão
. Dividindo a equação por
(válido para
):
Explicação didática: uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas. Aqui identificamos
Para resolver usamos o fator integrante (integrating factor)
. Isso transforma a equação numa forma exata
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Temos
Como combinei antes para trabalhar com raízes reais, tomo o caso
e escrevo
.
Multiplicando a equação padrão por
:
Repare que, pela regra do produto, o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Aqui mostrei explicitamente que
, que coincide com o que obtivemos.
Passo 4
Integrar ambos os lados em
:
onde
é a constante de integração.
Agora calculamos a integral
Fazemos a substituição útil
. Então
,
e
. Substituindo:
Agora calculamos
por partes. Seja
e
. Então
e
. Assim
Recordando que
(onde
é a função erro), concluímos
Voltando a
:
para uma constante
. Substituindo
e simplificando os coeficientes:
Portanto
(Na passagem entre
e
apenas renomeei a constante de integração.)
Passo 5
Multiplicar por
para obter
:
onde
é a constante arbitrária final. Esta é a solução geral válida para
. Comentário amigável: a presença da função erro
é natural quando integramos exponenciais de quadrado; não é sinal de que algo deu errado — é simplesmente a antiderivada conhecida para
.