Resolva a EDO:
2 t y^{\prime}-y=t^{2} e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial ordinária e encontrar a solução geral y(t) da EDO
2 t\, y'-y=t^{2} e^{-2 t}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A equação envolve y', a derivada de y em relação a t.
  • Há um fator t multiplicando y', logo a divisão por t será necessária e exige t\neq 0.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(t) (com constante arbitrária de integração).
  • Não há condições iniciais fornecidas, então vamos obter a família geral de soluções válida no intervalo onde t\neq 0. Para manipular raízes reais abaixo vou assumir t>0 (posso mencionar depois como adaptar para t<0).

Passo 2

Colocar a EDO na forma linear padrão y'+p(t)y=q(t). Dividindo a equação por 2t (válido para t\neq0):
y' - \frac{1}{2t}\,y = \frac{t}{2} e^{-2t}.
Explicação didática: uma EDO linear de primeira ordem tem a forma
y' + p(t)\,y = q(t),
onde p(t) e q(t) são funções conhecidas. Aqui identificamos
p(t) = -\frac{1}{2t},\qquad q(t)=\frac{t}{2} e^{-2t}.
Para resolver usamos o fator integrante (integrating factor) \mu(t)=\exp\!\big(\int p(t)\,dt\big). Isso transforma a equação numa forma exata \big(\mu y\big)'=\mu q.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Temos
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{2t}\,dt\right)=\exp\!\left(-\tfrac{1}{2}\ln|t|\right)=|t|^{-1/2}.
Como combinei antes para trabalhar com raízes reais, tomo o caso t>0 e escrevo \mu(t)=t^{-1/2}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(t):
t^{-1/2} y' - \frac{1}{2} t^{-3/2} y = \frac{1}{2} t^{1/2} e^{-2t}.
Repare que, pela regra do produto, o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(t)y(t):
\big(t^{-1/2} y\big)' = \frac{1}{2} t^{1/2} e^{-2t}.
Aqui mostrei explicitamente que \big(t^{-1/2} y\big)' = t^{-1/2} y' + (t^{-1/2})' y = t^{-1/2} y' - \tfrac{1}{2} t^{-3/2} y, que coincide com o que obtivemos.

Passo 4

Integrar ambos os lados em t:
t^{-1/2} y = \int \frac{1}{2} t^{1/2} e^{-2t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração.
Agora calculamos a integral
I=\int \frac{1}{2} t^{1/2} e^{-2t}\,dt.
Fazemos a substituição útil s=\sqrt{2t}. Então t=\dfrac{s^{2}}{2}, dt=s\,ds e t^{1/2}=\dfrac{s}{\sqrt{2}}. Substituindo:
I=\frac{1}{2}\int \frac{s}{\sqrt{2}} e^{-s^{2}} \cdot s\,ds =\frac{1}{2}\int \frac{s^{2}}{\sqrt{2}} e^{-s^{2}}\,ds =\frac{1}{2\sqrt{2}}\int s^{2} e^{-s^{2}}\,ds.
Agora calculamos \int s^{2} e^{-s^{2}}\,ds por partes. Seja u=s e dv=s e^{-s^{2}}ds. Então du=ds e v=-\tfrac{1}{2}e^{-s^{2}}. Assim
\int s^{2} e^{-s^{2}}\,ds = -\frac{s}{2}e^{-s^{2}} + \frac{1}{2}\int e^{-s^{2}}\,ds.
Recordando que \int e^{-s^{2}}\,ds = \tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(s) (onde \operatorname{erf} é a função erro), concluímos
\int s^{2} e^{-s^{2}}\,ds = -\frac{s}{2}e^{-s^{2}} + \frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(s)+\widetilde{C}.
Voltando a I:
I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(-\frac{s}{2}e^{-s^{2}} + \frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(s)\right)+C'
para uma constante C'. Substituindo s=\sqrt{2t} e simplificando os coeficientes:
I = -\frac{1}{4}\sqrt{t}\,e^{-2t} + \frac{\sqrt{\pi}}{2^{7/2}}\operatorname{erf}\big(\sqrt{2t}\big) + C'.
Portanto
t^{-1/2} y = -\frac{1}{4}\sqrt{t}\,e^{-2t} + \frac{\sqrt{\pi}}{2^{7/2}}\operatorname{erf}\big(\sqrt{2t}\big) + C.
(Na passagem entre C' e C apenas renomeei a constante de integração.)

Passo 5

Multiplicar por t^{1/2} para obter y(t):
y(t) = -\frac{1}{4}t e^{-2t} + \frac{\sqrt{\pi}}{2^{7/2}}\,\sqrt{t}\,\operatorname{erf}\big(\sqrt{2t}\big) + C\sqrt{t},
onde C é a constante arbitrária final. Esta é a solução geral válida para t>0. Comentário amigável: a presença da função erro \operatorname{erf} é natural quando integramos exponenciais de quadrado; não é sinal de que algo deu errado — é simplesmente a antiderivada conhecida para \int e^{-s^{2}}ds.

Resposta

y(t)=C\sqrt{t}+\dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{7/2}}\sqrt{t}\,\operatorname{erf}\big(\sqrt{2t}\big)-\dfrac{1}{4}t e^{-2t} (solução geral válida para t>0).

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