Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite, se existir,
As informações dadas são exatamente a expressão da função e o ponto para o qual o par
tende: o ponto é
. Não há imagens nem outros dados.
Passo 2
Observação inicial útil (o que vou tentar usar): para funções de duas variáveis, uma maneira simples de avaliar limites é verificar se a função é contínua no ponto. Se a função for contínua em
, então o limite quando
é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, substituição direta). Vou explicar por que isso vale e depois aplicar.
Mini-aula sobre continuidade e operações básicas:
- Uma função
é contínua em um ponto se . - Regras fundamentais de continuidade (intuitivas e frequentemente usadas):
- Funções polinomiais em
e são contínuas em todo lugar. Por exemplo, é contínua. - A função trigonométrica
é contínua porque a função (produto e composição de funções polinomiais) é contínua e a composição de uma função contínua com é contínua. - Se
e são contínuas em e , então a função é contínua em e vale .
Essas propriedades vêm das leis de limite e da definição de continuidade; em provas, costuma-se justificar com as regras de soma, produto e quociente de limites.
- Funções polinomiais em
Passo 3
Aplicando essas ideias à nossa função, identifico
Vou calcular os limites (ou valores) de
e
em
separadamente, usando continuidade (ou simplesmente substituição direta, válida porque as funções envolvidas são contínuas).
Cálculo do numerador no ponto:
Lembrete básico de trigonometria:
.
Portanto
Passo 4
Cálculo do denominador no ponto:
Aqui é importante verificar se esse valor é zero ou não. Como
, temos
ou seja,
. Então o denominador no ponto não se anula.
Passo 5
Pelo argumento de continuidade e pela regra do quociente de limites (já que
e
são contínuas e
), o limite existe e é o quociente dos valores no ponto:
Passo 6
Substituindo os valores encontrados em (3) e (4):
Esse é um número bem definido (aproximadamente
), mas a forma exata e limpa é
.