Questão 3) Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. Faça todas as passagens de sua justificativa.
(0,5) \lim _{(x, y) \rightarrow(1, \pi)} \frac{\cos (2 y x)}{3 x^{3}-2 y}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite, se existir,
\lim_{(x,y)\to(1,\pi)} \frac{\cos(2yx)}{3x^{3}-2y}.
As informações dadas são exatamente a expressão da função e o ponto para o qual o par (x,y) tende: o ponto é (1,\pi). Não há imagens nem outros dados.

Passo 2

Observação inicial útil (o que vou tentar usar): para funções de duas variáveis, uma maneira simples de avaliar limites é verificar se a função é contínua no ponto. Se a função for contínua em (1,\pi), então o limite quando (x,y)\to(1,\pi) é simplesmente o valor da função nesse ponto (ou seja, substituição direta). Vou explicar por que isso vale e depois aplicar.
Mini-aula sobre continuidade e operações básicas:
  • Uma função f(x,y) é contínua em um ponto (a,b) se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
  • Regras fundamentais de continuidade (intuitivas e frequentemente usadas):
    • Funções polinomiais em x e y são contínuas em todo lugar. Por exemplo, x\mapsto 3x^3 é contínua.
    • A função trigonométrica (x,y)\mapsto \cos(2yx) é contínua porque a função (x,y)\mapsto 2yx (produto e composição de funções polinomiais) é contínua e a composição de uma função contínua com \cos é contínua.
    • Se f e g são contínuas em (a,b) e g(a,b)\neq 0, então a função f/g é contínua em (a,b) e vale \lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{f(x,y)}{g(x,y)}=\frac{f(a,b)}{g(a,b)}.
      Essas propriedades vêm das leis de limite e da definição de continuidade; em provas, costuma-se justificar com as regras de soma, produto e quociente de limites.

Passo 3

Aplicando essas ideias à nossa função, identifico
f(x,y)=\cos(2yx)\qquad\text{e}\qquad g(x,y)=3x^3-2y.
Vou calcular os limites (ou valores) de f e g em (1,\pi) separadamente, usando continuidade (ou simplesmente substituição direta, válida porque as funções envolvidas são contínuas).
Cálculo do numerador no ponto:
f(1,\pi)=\cos\bigl(2\cdot \pi\cdot 1\bigr)=\cos(2\pi).
Lembrete básico de trigonometria: \cos(2\pi)=1.
Portanto
f(1,\pi)=1.

Passo 4

Cálculo do denominador no ponto:
g(1,\pi)=3\cdot 1^{3}-2\pi=3-2\pi.
Aqui é importante verificar se esse valor é zero ou não. Como \pi\approx 3{,}1416, temos
3-2\pi\approx 3-6{,}2832\approx -3{,}2832,
ou seja, 3-2\pi\neq 0. Então o denominador no ponto não se anula.

Passo 5

Pelo argumento de continuidade e pela regra do quociente de limites (já que f e g são contínuas e g(1,\pi)\neq 0), o limite existe e é o quociente dos valores no ponto:
\lim_{(x,y)\to(1,\pi)} \frac{\cos(2yx)}{3x^{3}-2y} = \frac{f(1,\pi)}{g(1,\pi)}.

Passo 6

Substituindo os valores encontrados em (3) e (4):
\frac{f(1,\pi)}{g(1,\pi)}=\frac{1}{3-2\pi}.
Esse é um número bem definido (aproximadamente -0{,}3046), mas a forma exata e limpa é \dfrac{1}{3-2\pi}.

Resposta

\frac{1}{3-2\pi}

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