Resolva a EDO y^{\prime}-\frac{2 y}{x}=x^{3}, \quad x>0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' - \frac{2y}{x} = x^{3},\qquad x>0,
e pede para encontrar a função y(x) que satisfaz essa equação (a solução geral, já que não foi dada condição inicial). Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • Aparece a derivada primeira y'.
  • O termo independente (lado direito) é x^{3}.
  • O domínio é x>0 (isso permite usar \ln x sem problemas).

Passo 2

Vamos reconhecer o tipo de equação e a técnica apropriada. Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x).
No nosso caso podemos escrever a equação na forma padrão identificando
P(x) = -\frac{2}{x},\qquad Q(x)=x^{3}.
A técnica clássica para resolver equações lineares de primeira ordem é o fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y. Vou explicar como achar \mu(x).

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui P(x)=-\dfrac{2}{x}, então calculamos a integral:
\int P(x)\,dx=\int -\frac{2}{x}\,dx = -2\ln x.
Como x>0 podemos usar \ln x sem ambiguidade. Portanto
\mu(x)=\exp(-2\ln x).
Usando a identidade \exp(a\ln b)=b^{a} obtemos
\mu(x)=x^{-2}.
Observação: constantes multiplicativas no fator integrante não mudam a solução, por isso tomamos a forma simples x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-2}. Fazendo isso:
x^{-2}y' - x^{-2}\cdot\frac{2y}{x} = x^{-2}\cdot x^{3}.
Simplificando o termo da direita:
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x.
Agora reconheça que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x^{-2}y. De fato, usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x^{-2}y' + (x^{-2})'y = x^{-2}y' -2x^{-3}y.
Portanto a equação fica
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)=x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. Integração direta:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-2}y\big)\,dx = \int x\,dx.
O lado esquerdo integra para x^{-2}y e o lado direito é \dfrac{x^{2}}{2}, mais uma constante C. Assim
x^{-2}y = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante arbitrária de integração (real).

Passo 6

Isolamos y multiplicando ambos os lados por x^{2}:
y = x^{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right).
Distribuindo:
y = \frac{x^{4}}{2} + Cx^{2}.
Essa é a solução geral. Repare que a constante C representa todas as possíveis soluções conforme diferentes condições iniciais.

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando y temos
y' = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{2}+Cx^{2}\right)=2x^{3}+2Cx.
Agora calcule y' - \dfrac{2y}{x}:
y' - \frac{2y}{x} = (2x^{3}+2Cx) - \frac{2\big(\tfrac{x^{4}}{2}+Cx^{2}\big)}{x} = (2x^{3}+2Cx) - \big(x^{3}+2Cx\big) = x^{3},
que é exatamente o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.

Resposta

y=\dfrac{x^{4}}{2}+C x^{2},\quad C\in\mathbb{R}

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