Resolva a EDO
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a função
que satisfaz essa equação (a solução geral, já que não foi dada condição inicial). Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é a função
. - Aparece a derivada primeira
. - O termo independente (lado direito) é
. - O domínio é
(isso permite usar sem problemas).
Passo 2
Vamos reconhecer o tipo de equação e a técnica apropriada. Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma padrão
No nosso caso podemos escrever a equação na forma padrão identificando
A técnica clássica para resolver equações lineares de primeira ordem é o fator integrante (integrating factor). A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Vou explicar como achar
.
Passo 3
O fator integrante
é definido por
Aqui
, então calculamos a integral:
Como
podemos usar
sem ambiguidade. Portanto
Usando a identidade
obtemos
Observação: constantes multiplicativas no fator integrante não mudam a solução, por isso tomamos a forma simples
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso:
Simplificando o termo da direita:
Agora reconheça que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. De fato, usando a regra do produto:
Portanto a equação fica
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. Integração direta:
O lado esquerdo integra para
e o lado direito é
, mais uma constante
. Assim
onde
é constante arbitrária de integração (real).
Passo 6
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Essa é a solução geral. Repare que a constante
representa todas as possíveis soluções conforme diferentes condições iniciais.
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando
temos
Agora calcule
:
que é exatamente o lado direito da equação original. Logo a solução está correta.