Resolva o PVI x y^{\prime}+y=x^{2}, \quad y(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
x\,y'(x)+y(x)=x^{2},\qquad y(1)=0.
Informações importantes que temos:
  • A equação diferencial envolve y e sua derivada y'.
  • Há uma condição inicial em x=1: y(1)=0.
  • Note que a equação está escrita com um fator x multiplicando y', então devemos ter x\neq0 no domínio considerado. Como a condição inicial está em x=1, procuraremos a solução em algum intervalo que contenha x=1 (por exemplo (0,\infty)).

Passo 2

Vamos primeiro escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por x (válido porque procuramos solução para x\neq0) obtemos
y'(x)+\frac{1}{x}y(x)=x.
Aqui identificamos as funções
p(x)=\frac{1}{x}\qquad\text{e}\qquad q(x)=x.
Explicação curta do porquê: a forma padrão é y'+p(x)y=q(x). Colocar a equação nessa forma é útil porque existe um procedimento direto (fator integrante) para resolvê-la.

Passo 3

Agora aplicamos o método do fator integrante (integrating factor). O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
No nosso caso,
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{1}{x}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Como vamos trabalhar em um intervalo contendo x=1 (ou seja, x>0), podemos tomar \mu(x)=x. Observação didática: o fator integrante transforma a equação num formato onde o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)y(x).

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x. Começando de
y'(x)+\frac{1}{x}y(x)=x,
multiplicando por x
x\,y'(x)+y(x)=x^{2}.
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x\,y(x) (pela regra do produto: (x y)'=x y'+1\cdot y). Portanto podemos reescrever a equação como
\bigl(x\,y(x)\bigr)'=x^{2}.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(x\,y(x)\bigr)'\,dx=\int x^{2}\,dx.
A integração do lado esquerdo recupera x\,y(x) e do direito temos uma primitiva de x^{2}. Assim
x\,y(x)=\frac{x^{3}}{3}+C,
onde C é a constante de integração. Isso é padrão: integrar uma derivada dá a função original mais constante.

Passo 6

Isolamos y(x) dividindo por x (novamente x\neq0):
y(x)=\frac{x^{3}}{3x}+\frac{C}{x}=\frac{x^{2}}{3}+\frac{C}{x}.
Podemos também escrever de forma combinada:
y(x)=\frac{1}{3}\,x^{2}+\frac{C}{x}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1 em y(x):
0=y(1)=\frac{1^{2}}{3}+\frac{C}{1}=\frac{1}{3}+C.
Portanto
C=-\frac{1}{3}.

Passo 8

Substituindo C na expressão geral obtemos a solução particular do PVI:
y(x)=\frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{3x}.
Podemos simplificar para uma fração única:
y(x)=\frac{x^{3}-1}{3x}.

Passo 9

Verificação rápida (para descansar a mente): calcule y'(x) a partir de y(x)=\dfrac{x^{2}}{3}-\dfrac{1}{3x}.
y'(x)=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}x^{-2}.
Multiplicando por x e somando y:
x\,y'(x)+y(x)=x\!\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}x^{-2}\right)+\left(\frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{3x}\right) =\frac{2}{3}x^{2}+\frac{1}{3x}+\frac{1}{3}x^{2}-\frac{1}{3x}=x^{2},
o que confirma que a solução satisfaz a equação. Além disso y(1)=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}=0, então a condição inicial também é satisfeita. Por teoremas de existência e unicidade (pelo fato de p e q serem contínuas em um intervalo contendo 1), esta solução é única nesse intervalo.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{3}-\frac{1}{3x}=\frac{x^{3}-1}{3x}.

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