Resolva o PVI
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
Informações importantes que temos:
- A equação diferencial envolve
e sua derivada . - Há uma condição inicial em
: . - Note que a equação está escrita com um fator
multiplicando , então devemos ter no domínio considerado. Como a condição inicial está em , procuraremos a solução em algum intervalo que contenha (por exemplo ).
Passo 2
Vamos primeiro escrever a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo tudo por
(válido porque procuramos solução para
) obtemos
Aqui identificamos as funções
Explicação curta do porquê: a forma padrão é
. Colocar a equação nessa forma é útil porque existe um procedimento direto (fator integrante) para resolvê-la.
Passo 3
Agora aplicamos o método do fator integrante (integrating factor). O fator integrante
é definido por
No nosso caso,
Como vamos trabalhar em um intervalo contendo
(ou seja,
), podemos tomar
. Observação didática: o fator integrante transforma a equação num formato onde o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Começando de
multiplicando por
dá
Note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
(pela regra do produto:
). Portanto podemos reescrever a equação como
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integração do lado esquerdo recupera
e do direito temos uma primitiva de
. Assim
onde
é a constante de integração. Isso é padrão: integrar uma derivada dá a função original mais constante.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
(novamente
):
Podemos também escrever de forma combinada:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
em
:
Portanto
Passo 8
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular do PVI:
Podemos simplificar para uma fração única:
Passo 9
Verificação rápida (para descansar a mente): calcule
a partir de
.
Multiplicando por
e somando
:
o que confirma que a solução satisfaz a equação. Além disso
, então a condição inicial também é satisfeita. Por teoremas de existência e unicidade (pelo fato de
e
serem contínuas em um intervalo contendo
), esta solução é única nesse intervalo.