Resolva a EDO:
y^{\prime}+\left(\frac{2}{t}\right) y-e^{-t}=0, \quad t>0.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária para t>0:
y^{\prime}+\left(\frac{2}{t}\right)y-e^{-t}=0.
Reescrevendo de forma explícita, a equação dada é
y^{\prime}+\frac{2}{t}\,y=e^{-t},\qquad t>0.
O que se quer é a solução geral y(t) definida para t>0. As informações relevantes são: a equação é de primeira ordem e linear em y; o termo p(t)=\dfrac{2}{t} está definido porque t>0; o termo não homogêneo é q(t)=e^{-t}. A solução deve conter uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Apresentar o método: para uma equação linear de primeira ordem da forma
y'+p(t)y=q(t)
usa-se o fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explicação rápida do porquê: multiplicando a equação por \mu(t) obtém-se
\mu y'+\mu p y=(\mu y)'\!,
pois \mu'=\mu p. Assim a equação vira (\mu y)'=\mu q e integrar ambos os lados produz a solução. Aqui, identificamos
p(t)=\frac{2}{t},\qquad q(t)=e^{-t}.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Temos
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{2}{t}\,dt\right)=\exp\!(2\ln t).
Como t>0 podemos simplificar \exp\!(2\ln t)=t^{2}. Portanto
\mu(t)=t^{2}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(t)=t^{2}. Fazendo isso obtemos
t^{2}y'+2t y = t^{2}e^{-t}.
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada do produto:
(t^{2}y)'=t^{2}y'+2t y.
Logo a equação se transforma em
(t^{2}y)' = t^{2}e^{-t}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a t:
t^{2}y = \int t^{2}e^{-t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração. Agora calcular a integral \int t^{2}e^{-t}\,dt por partes.

Passo 6

Cálculo da integral \int t^{2}e^{-t}\,dt por partes, passo a passo.
Escolher u=t^{2} e dv=e^{-t}dt. Então du=2t\,dt e v=-e^{-t}. Aplicando integração por partes:
\int t^{2}e^{-t}\,dt = -t^{2}e^{-t} + \int 2t e^{-t}\,dt.
Agora calcular \int t e^{-t}\,dt. Fazer outra integração por partes com u=t, dv=e^{-t}dt. Assim du=dt, v=-e^{-t}, e
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} + \int e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C_1.
Multiplicando por 2,
\int 2t e^{-t}\,dt = -2t e^{-t} -2 e^{-t} + C_2.
Somando com o termo anterior:
\int t^{2}e^{-t}\,dt = -t^{2}e^{-t} -2t e^{-t} -2 e^{-t} + C = -e^{-t}\bigl(t^{2}+2t+2\bigr) + C.

Passo 7

Substituir a integral encontrada em t^{2}y = \int t^{2}e^{-t}\,dt + C. Obtém-se
t^{2}y = -e^{-t}\bigl(t^{2}+2t+2\bigr) + C.
Dividindo por t^{2} (possível porque t>0), encontramos a solução geral:
y(t) = -e^{-t}\left(1+\frac{2}{t}+\frac{2}{t^{2}}\right) + \frac{C}{t^{2}},
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 8

Interpretação final e forma alternativa: a solução é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular. A solução homogênea da equação y'+\dfrac{2}{t}y=0 é y_{h}=\dfrac{C}{t^{2}}. Uma particular conveniente é y_{p}=-e^{-t}\bigl(1+\dfrac{2}{t}+\dfrac{2}{t^{2}}\bigr). Portanto a solução geral escrita de forma compacta é
y(t)=\frac{C-e^{-t}\bigl(t^{2}+2t+2\bigr)}{t^{2}},\quad C\in\mathbb{R},\; t>0.

Resposta

y(t)=-e^{-t}\left(1+\frac{2}{t}+\frac{2}{t^{2}}\right)+\frac{C}{t^{2}},\quad C\in\mathbb{R},\\ t>0.

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