Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação diferencial ordinária para
:
Reescrevendo de forma explícita, a equação dada é
O que se quer é a solução geral
definida para
. As informações relevantes são: a equação é de primeira ordem e linear em
; o termo
está definido porque
; o termo não homogêneo é
. A solução deve conter uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Apresentar o método: para uma equação linear de primeira ordem da forma
usa-se o fator integrante
definido por
Explicação rápida do porquê: multiplicando a equação por
obtém-se
pois
. Assim a equação vira
e integrar ambos os lados produz a solução. Aqui, identificamos
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Temos
Como
podemos simplificar
. Portanto
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Reconhece-se o lado esquerdo como derivada do produto:
Logo a equação se transforma em
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora calcular a integral
por partes.
Passo 6
Cálculo da integral
por partes, passo a passo.
Escolher
e
. Então
e
. Aplicando integração por partes:
Agora calcular
. Fazer outra integração por partes com
,
. Assim
,
, e
Multiplicando por
,
Somando com o termo anterior:
Passo 7
Substituir a integral encontrada em
. Obtém-se
Dividindo por
(possível porque
), encontramos a solução geral:
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 8
Interpretação final e forma alternativa: a solução é a soma da solução geral da homogênea e de uma particular. A solução homogênea da equação
é
. Uma particular conveniente é
. Portanto a solução geral escrita de forma compacta é