Resolva a EDO:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A incógnita é a função
. - A equação é de primeira ordem e está dada na forma envolvendo
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação numa forma de diferencial total do tipo
, porque isso facilita a verificação se ela é exata. Faço manipulações algébricas para isolar termos em
e
.
Partindo de
multiplico ambos os lados por
e reorganizo para obter
Aqui identifico
Passo 3
Explico o que significa ser uma equação exata: existe uma função potencial
tal que
ou seja,
e
. Uma condição prática para exactidão (quando
e
são contínuas e têm derivadas parciais) é
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso garante a existência local de
satisfazendo
, e a solução geral será
.
Passo 4
Agora construo a função potencial
. Uso
e integro
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Determino
impondo
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Como deve valer
, igualo:
Integro em relação a
:
onde
é uma constante (que pode ser absorvida depois no lado direito da solução).
Passo 6
Substituo
em
e escrevo a solução implícita geral
:
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial. Se for necessário expressar
explicitamente em função de
, trata-se de uma equação quadrática em
; reorganizando
ou
aplicando a fórmula quadrática obtém-se as duas ramos
onde
é a constante de integração. Mas, na maioria dos contextos, a forma implícita
é perfeitamente aceitável e mais simples.