Resolva a EDO:
9 x^{2}-(4 y-x) \frac{d y}{d x}=-y+1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
9 x^{2}-(4 y-x)\frac{dy}{dx}=-y+1
e pede para encontrar a solução geral y(x).
Informações fornecidas:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é de primeira ordem e está dada na forma envolvendo \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação numa forma de diferencial total do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, porque isso facilita a verificação se ela é exata. Faço manipulações algébricas para isolar termos em dx e dy.
Partindo de
9 x^{2}-(4 y-x)\frac{dy}{dx}=-y+1,
multiplico ambos os lados por dx e reorganizo para obter
\big(y+9x^{2}-1\big)\,dx-\big(4y-x\big)\,dy=0.
Aqui identifico
M(x,y)=y+9x^{2}-1,\qquad N(x,y)=-\big(4y-x\big)=x-4y.

Passo 3

Explico o que significa ser uma equação exata: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
d\Phi = \Phi_x\,dx+\Phi_y\,dy = M\,dx+N\,dy,
ou seja, \Phi_x=M e \Phi_y=N. Uma condição prática para exactidão (quando M e N são contínuas e têm derivadas parciais) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y+9x^{2}-1\big)=1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x-4y\big)=1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=1, a equação é exata. Isso garante a existência local de \Phi(x,y) satisfazendo d\Phi=0, e a solução geral será \Phi(x,y)=C.

Passo 4

Agora construo a função potencial \Phi(x,y). Uso \Phi_x=M e integro M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\big(y+9x^{2}-1\big)\,dx=xy+3x^{3}-x+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 5

Determino h(y) impondo \Phi_y=N. Calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(xy+3x^{3}-x+h(y)\big)=x+h'(y).
Como deve valer \Phi_y=N=x-4y, igualo:
x+h'(y)=x-4y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=-4y.
Integro em relação a y:
h(y)=\int -4y\,dy=-2y^{2}+C_0,
onde C_0 é uma constante (que pode ser absorvida depois no lado direito da solução).

Passo 6

Substituo h(y) em \Phi(x,y) e escrevo a solução implícita geral \Phi(x,y)=\text{constante}:
\Phi(x,y)=xy+3x^{3}-x-2y^{2}=C.
Essa é a solução geral implícita da equação diferencial. Se for necessário expressar y explicitamente em função de x, trata-se de uma equação quadrática em y; reorganizando
-2y^{2}+xy+3x^{3}-x-C=0
ou
2y^{2}-xy-3x^{3}+x+C=0,
aplicando a fórmula quadrática obtém-se as duas ramos
y=\frac{x\pm\sqrt{x^{2}+24x^{3}-8x-8C}}{4},
onde C é a constante de integração. Mas, na maioria dos contextos, a forma implícita \Phi(x,y)=C é perfeitamente aceitável e mais simples.

Resposta

xy+3x^{3}-x-2y^{2}=C

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