Resolva as EDO13) d yd x=(x+y+1)^2 ; u=x+y+1

Passo 1

Temos a EDO de primeira ordem dydx = (x+y+1)^2 e a substituição sugerida u = x+y+1. Vamos usar isso para transformar a equação original em uma forma separável.

Passo 2

Primeiro, relacionamos du/dx com dy/dx. Como u = x+y+1, diferenciando em relação a x temos:
dudx = ddx(x+y+1) = 1 + dydx
Da equação dada dydx = (x+y+1)^2 = u^2, obtemos
$$
1 + \frac{dy}{dx} = 1 + u^2 \implies \frac{du}{dx} = 1 + u^2
$$

Passo 3

Esta é uma EDO separável. Separamos variáveis e integramos:
du1+u^2 = dx
Integrando ambos os lados,
integral du1+u^2 = integral dx implies arctan(u) = x + C
Por fim, voltamos à variável original: u = x+y+1, então
arctan(x+y+1) = x + C
Resolvendo para y:
$$
x+y+1 = \tan(x + C) \implies y = \tan(x + C) - x - 1
$$

Resposta

y(x) = tan(x + C) - x - 1

Exercícios relacionados