Seja o campo vetorial
e a superfície S definida pela equação vetorial
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície
na direção do vetor
, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um campo vetorial
e uma superfície
parametrizada por
, onde
e
variam de 0 a 1. Nosso objetivo é calcular o fluxo desse campo através da superfície
na direção do vetor normal
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais, produto vetorial e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização
em relação a
e
. Essas derivadas são importantes porque nos dão os vetores tangentes à superfície, que são essenciais para calcular o vetor normal.
Calculando
(derivada em relação a
):
Calculando
(derivada em relação a
):
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. Esse vetor será normal à superfície
e vai direcionar o fluxo que queremos calcular.
Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Vamos agora expressar o campo vetorial
em termos das variáveis
e
, usando a parametrização da superfície
. Isso significa substituir
,
e
por suas expressões em função de
e
.
Dado que:
Então, o campo
fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Multiplicando termo a termo:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o fluxo. As variáveis
e
variam de 0 a 1, então nossos limites de integração serão de 0 a 1 para ambas.
Passo 7
Vamos resolver a integral dupla passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície
é
.