Seja o campo vetorial F(x, y, z)=x i+y j+2 x k e a superfície S definida pela equação vetorial
r(u, v)=u i+v j+v^3 k ; 0 <= u <= 1 ; 0 <= v <= 1
Calcule o fluxo do campo vetorial através da superfície S na direção do vetor ru times rv, ou seja, integral duplaS F cdot d S.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um campo vetorial e uma superfície parametrizada por , onde e variam de 0 a 1. Nosso objetivo é calcular o fluxo desse campo através da superfície na direção do vetor normal . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais, produto vetorial e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização ru = partial rpartial u = partialpartial u(u, i + v, j + v^3, k) = i em relação a rv = partial rpartial v = partialpartial v(u, i + v, j + v^3, k) = j + 3v^2, k e . Essas derivadas são importantes porque nos dão os vetores tangentes à superfície, que são essenciais para calcular o vetor normal.
Calculando (derivada em relação a ):
Calculando (derivada em relação a ):

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv = i times (j + 3v^2, k) = i times j + 3v^2, i times k . Esse vetor será normal à superfície i times j = k e i times k = -j e vai direcionar o fluxo que queremos calcular.
ru times rv = k - 3v^2, j
Sabemos que:
Portanto:

Passo 4

Vamos agora expressar o campo vetorial r(u, v) = u, i + v, j + v^3, k implies x = u, y = v, z = v^3 em termos das variáveis F(u, v) = u, i + v, j + 2u, k e , usando a parametrização da superfície . Isso significa substituir , e por suas expressões em função de e .
Dado que:
Então, o campo fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar entre F cdot (ru times rv) = (u, i + v, j + 2u, k) cdot (k - 3v^2, j) e u cdot 0 + v cdot (-3v^2) + 2u cdot 1 = -3v^3 + 2u :
Multiplicando termo a termo:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o fluxo. As variáveis integral duplaS F cdot dS = integral0^1 integral0^1 (-3v^3 + 2u) , du , dv e variam de 0 a 1, então nossos limites de integração serão de 0 a 1 para ambas.

Passo 7

Vamos resolver a integral dupla passo a passo.
Primeiro, integramos em relação a integral0^1 (-3v^3 + 2u) , du = -3v^3 integral0^1 du + 2 integral0^1 u , du = -3v^3(1 - 0) + 2 [u^22]0^1 = -3v^3 + 2 (12 - 0) = -3v^3 + 1 :
integral0^1 (-3v^3 + 1) , dv = -3 integral0^1 v^3 , dv + integral0^1 1 , dv = -3 [v^44]0^1 + [v]0^1 = -3 (14 - 0) + (1 - 0) = -34 + 1 = 14
Agora, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é .

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