Resolva as EDO’s abaixo:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-5 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' - 5y = 0.
O conteúdo aqui é a técnica de equacionar o polinômio característico associado e usar suas raízes para escrever a solução geral.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo y''\mapsto r^2, y'\mapsto r e y\mapsto1, obtendo
r^2 - 4r - 5 = 0.

Passo 3

Resolvemos a equação quadrática
r^2 - 4r - 5 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot(-5)}}{2\cdot1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2}.
Logo, as raízes são
r_1 = 5 \quad\text{e}\quad r_2 = -1.

Passo 4

Como as duas raízes r_1 e r_2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(x) = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-x}.

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