Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=6 x e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = 6x\,e^{-x}.
O conteúdo é método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0 \;\Longrightarrow\;(r+1)^2 = 0,
logo há raiz dupla r=-1. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h = C_1\,e^{-x} + C_2\,x\,e^{-x}.

Passo 3

Para a particular, como o lado direito é 6x\,e^{-x} e e^{-x} já aparece na homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos o palpite usual e^{-x}(Ax+B) por x^2. Então tomamos
y_p = e^{-x}\bigl(Ax^3 + Bx^2\bigr).

Passo 4

Vamos usar a forma y_p=e^{-x}u(x) com u(x)=Ax^3+Bx^2. Então
y_p' = e^{-x}\bigl(u' - u\bigr), \quad y_p'' = e^{-x}\bigl(u'' -2u' + u\bigr).
Substituindo em y''+2y'+y obtém-se
e^{-x}\bigl(u'' -2u' + u\bigr) +2e^{-x}\bigl(u' - u\bigr) +e^{-x}u = e^{-x}\,u''.
A equação vira
e^{-x}\,u'' = 6x\,e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad u'' = 6x.
Como u(x)=Ax^3+Bx^2, temos
u''(x)=6A x + 2B.
Igualando a 6x
6A = 6 \quad\Longrightarrow\quad A=1, \qquad 2B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B=0.
Logo
y_p = e^{-x}\,x^3.

Passo 5

A solução geral da não-homogênea é
y(x) = y_h + y_p = C_1\,e^{-x} + C_2\,x\,e^{-x} + x^3\,e^{-x}.

Resposta

y(x) = \bigl(C_1 + C_2\,x + x^3\bigr)e^{-x},
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

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