Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}+4 y=25 x e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 25x e^x
Usamos o método das equações lineares: primeiro encontramos a solução complementar y_c da homogênea, depois um particular y_p por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm 2i.
Logo a solução complementar é
y_c = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).

Passo 3

O termo não-homogêneo é 25x e^x. Como e^x não é raiz da homogênea, fazemos o palpite
y_p = e^x\bigl(a x + b\bigr),
onde a,b são constantes a determinar.

Passo 4

Calculando derivadas:
y_p = e^x(a x + b),
y_p' = e^x(a x + b + a),
y_p'' = e^x(a x + b + 2a).
Substituindo em y''+4y:
y_p'' + 4y_p = e^x\bigl(a x + b + 2a\bigr) + 4e^x\bigl(a x + b\bigr) = e^x\bigl(5a\,x + (5b + 2a)\bigr).
Para igualar a 25x e^x precisamos de
5a = 25,\quad 5b + 2a = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 5,\; b = -2.
Assim
y_p = e^x\bigl(5x - 2\bigr).

Passo 5

A solução geral é
y(x) = y_c + y_p = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + e^x\bigl(5x - 2\bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) + e^x\bigl(5x - 2\bigr).}

Exercícios relacionados