Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de
ordem com coeficientes constantes.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O plano de ataque é clássico: 1) achar a solução geral da equação homogênea associada, 2) encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, e 3) somar as duas para obter a solução geral.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
Escrevemos a equação característica
e resolvemos
Logo, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da não-homogênea. O termo fonte é
. Como
não é raiz da característica, tentamos
com
constante a determinar. Calculamos
Substituindo em
:
Isso deve ser igual a
, logo
Portanto
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral é