Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 e^{-x}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' + 2y = 3e^{-x}.
O plano de ataque é clássico: 1) achar a solução geral da equação homogênea associada, 2) encontrar uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados, e 3) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y'' - 3y' + 2y = 0.
Escrevemos a equação característica
r^2 - 3r + 2 = 0
e resolvemos
r = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \quad\Longrightarrow\quad r_1 = 1,\;r_2 = 2.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p da não-homogênea. O termo fonte é 3e^{-x}. Como -1 não é raiz da característica, tentamos
y_p(x) = A e^{-x},
com A constante a determinar. Calculamos
y_p' = -A e^{-x}, \quad y_p'' = A e^{-x}.
Substituindo em y'' - 3y' + 2y:
A e^{-x} \;-\;3(-A e^{-x})\;+\;2(A e^{-x}) = \bigl(A + 3A + 2A\bigr)e^{-x} =6A e^{-x}.
Isso deve ser igual a 3e^{-x}, logo
6A e^{-x} = 3e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad 6A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.
Portanto
y_p(x) = \tfrac12 e^{-x}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \tfrac12 e^{-x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + \tfrac12 e^{-x}.

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