Resolva as EDO’s lineares não-homogêneas de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes constantes.
y^{\prime \prime}-4 y=4 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y = 4e^{2x}.
O método consiste em encontrar a solução geral da homogênea associada e depois uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y'' - 4y = 0.
A equação característica é
r^2 - 4 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 2.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p para
y'' - 4y = 4e^{2x}.
Como e^{2x} já aparece em y_h, multiplicamos o palpite usual por x. Logo, tomamos
y_p(x) = A x e^{2x}.
Calculamos as derivadas:
y_p' = A\,(1 + 2x)e^{2x},
y_p'' = A\,(4 + 4x)e^{2x}.
Substituindo em y'' - 4y:
y_p'' - 4y_p = A(4 + 4x)e^{2x} - 4A x e^{2x} = 4A e^{2x}.
Para que isso seja igual a 4e^{2x}, precisamos de
4A e^{2x} = 4e^{2x} \quad\Longrightarrow\quad A = 1.
Portanto
y_p(x) = x e^{2x}.

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + x e^{2x}.

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + x e^{2x},}
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados